∞⁰ = ∞, 1 oder undefiniert. Welches ist es?

Vor ein paar Tagen habe ich einen Artikel über die Ramanujan-Summation geschrieben, der, um es kurz zu machen, eine mathematische Reihe ist, die ungefähr so ​​aussieht:

Wenn Sie den Artikel lesen möchten, klicken Sie hier. Ich beweise diese Tatsache im Artikel zusammen mit zwei anderen gleichermaßen interessanten Gleichungen. Hier bin ich auf die Idee für diesen Artikel gestoßen. Nachdem ich die Ramanujan-Zusammenfassung veröffentlicht hatte, erhielt ich einen Kommentar zu meiner Verwendung der Kommutativität einer unendlich zählbaren Menge. Kommutativität ist die Idee, dass eine Neuordnung der Begriffe das Ergebnis nicht ändert, wenn Sie 1 + 2 + 3 haben. Also 1 + 2 + 3 = 1 + 3 + 2, Sie können aber die Begriffe in beliebiger Reihenfolge und die Antwort wird immer immer 6 sein. Ich benutze diese Eigenschaft, um die obige Gleichung in meinem anderen Artikel zu beweisen, aber forceOfHabit brachte ein interessantes hervor Punkt, gilt dies für eine unendliche Menge von Zahlen?

„Es ist intuitiv offensichtlich, dass es doppelt so viele positive ganze Zahlen gibt wie sogar positive ganze Zahlen. Wenn wir jedoch die Folge positiver Ganzzahlen nehmen und alle mit 2 multiplizieren, erhalten wir die Folge sogar positiver Ganzzahlen. Das Multiplizieren jedes Mitglieds der Sequenz mit 2 ändert jedoch nichts an der Anzahl der Mitglieder. Es gibt also genau die gleiche Anzahl positiver Ganzzahlen wie sogar positive Ganzzahlen. Also was ist es? Doppelt so viele oder die gleiche Anzahl? " - forceOfHabit

Und ehrlich gesagt wusste ich die Antwort darauf nicht. Aber es hatte mein Interesse geweckt, also beschloss ich, es etwas genauer zu untersuchen. Ich ging durch ein Wikipedia-Wurmloch durch verschiedene Bereiche der Mathematik, lernte dabei einige interessante Fakten und landete bei der Kardinalität. Kardinalität befasst sich mit Mengen und beschreibt die Anzahl der Elemente in einer Menge. Zum Beispiel hat die Menge {1,2,3} 3 Elemente oder eine Kardinalität von 3.

Mit Kardinalität können wir beginnen, die obigen Fragen in den Griff zu bekommen. Ich recherchierte ein wenig weiter und fand einen interessanten Teil der Kardinalität namens Kardinalarithmetik, bei dem es sich um arithmetische Operationen handelt, die mit Kardinalzahlen ausgeführt werden können, die die gewöhnlichen Operationen für natürliche Zahlen verallgemeinern. Um es mit Lamens auszudrücken, es handelt sich um eine spezielle Reihe von Operationen, die speziell für Kardinalzahlen mit jeweils eigener Definition funktionieren. Wenn Sie beispielsweise zwei Mengen A und B mit den Kardinalitäten 3 bzw. 4 haben, bezeichnen wir dies als | A | = 3 und | B | = 4. Dann | A | + | B | = | A ∪ B |. Dies entspricht natürlich dem Hinzufügen numerischer Werte von | A | und | B | zeigt die Tatsache, dass es auf diese Weise definiert ist, wie es arithmetische Operationen gibt, die für bestimmte Mengen erstellt werden können (vorausgesetzt, die Operation erfüllt bestimmte Kriterien).

Mit Hilfe der Kardinalarithmetik wurde nicht nur bewiesen, dass die Anzahl der Punkte in einer reellen Zahlenlinie gleich der Anzahl der Punkte in einem Segment dieser Linie ist. Es klingt sehr kontraintuitiv, aber auch die obige Frage, weshalb ich sie gerne für ähnlich halte. Offensichtlich ist dies in keiner Weise ein formeller oder sogar ein gültiger Beweis, aber ich würde davon ausgehen, dass die Antwort auf die Frage von forceOfHabit Option b ist, wenn Sie sie im gleichen Sinne betrachten. die gleiche Anzahl von ganzen Zahlen.

Andererseits kann ich mich völlig irren, und das ist die Verwirrung der Unendlichkeit. Es gibt so viel, was nicht bekannt ist, weil es nur ein Konzept ist. Es gibt keine Möglichkeit, die Unendlichkeit zu messen, da sie per Definition nicht messbar ist und es an und für sich schwierig ist, den Kopf herumzureißen. Ich denke, der Mathematikprofessor meines ersten Jahres hat die Unendlichkeit ziemlich gut zusammengefasst: „Ich hasse die Unendlichkeit. Es ist keine Zahl, aber wir behandeln sie wie eine, aber wir sollten nicht. Es ist ein Konzept, kein mathematischer Wert. Wenn also einer von Ihnen es als solches verwendet, können Sie den Kurs genauso gut abbrechen! “

Nun zu meiner Lieblingsnummer auf der ganzen Welt. Sie fragen jemanden, was seine Lieblingsnummer ist (natürlich ohne Smalltalk über das Wetter), und er wird wahrscheinlich etwas über einen Geburtstag oder eine Glückszahl sagen, an die er glaubt. Aber fragen Sie mich, und ich werde es Ihnen sagen 0. Es ist weder eine Glückszahl noch ein Geburtstag oder ein Jubiläum, aber es ist bei weitem das interessanteste für mich.

Für den Anfang hat es einen Wert, aber keinen Wert. Wenn Sie es einer anderen Nummer hinzufügen, bleibt es gleich. Subtrahieren Sie es, bleibt gleich. Aber wenn Sie es multiplizieren, erhalten Sie 0, egal mit was Sie es multiplizieren.

1 x 0? 0.

123456789876543212345678987654321 x 0? 0.

Und wenn Sie es teilen, erhalten Sie 0, unabhängig vom Nenner (Takt 1, bleiben Sie dran). 0/1234 ist immer noch Null

Aber wenn du bei Null tauchst, bekommst du ein paar wirklich verrückte Sachen. Ich spreche davon, Kugeln in der Matrixebene auszuweichen, die verrückt sind. Jeder, der eine Algebra-Klasse besucht hat, weiß, dass wir nicht durch Null teilen können, weil sie undefiniert ist. Wir klassifizieren es als undefiniert, denn wenn Sie versuchen, 6 durch Null zu teilen, ist es analog zu der Frage „Welche Anzahl mal 0 entspricht sechs?“. Wir wissen, dass es keine Zahl gibt, die dies erfüllt, daher folgt die Division durch Null nicht den normalen Regeln der Division. Daher ignorieren wir es. Wenn wir diese Regel jedoch für eine Sekunde vergessen, kann die Division durch Null ein sehr nützliches Werkzeug werden, um völlig lächerliche Dinge zu „beweisen“. Beispielsweise:

Sei a = b. Dann
a² = ab
a² + a² = a² + ab
2a² - 2ab = a² + ab - 2ab
2 (a² - ab) = 1 (a² - ab) #Magischer Schritt tritt hier auf
2 = 1

Los geht's, ich habe gerade bewiesen, dass 2 = 1 ist und die Mathematik gebrochen! Der Grund dafür ist der magische Schritt, bei dem beide Seiten durch a² - ab geteilt werden. Wenn Sie jedoch die ursprüngliche Aussage betrachten, ist a = b, also a² = ab, mit anderen Worten a² - ab = 0. Dies ist Division durch Null, die genau aus diesem Grund undefiniert ist. Es ist auch der Grund, warum Mathematiker es wie die Pest vermeiden.

Zum Glück ist es tatsächlich die dritte Option. Ich könnte durchgehen, wie wenn es in Form eines Limits ist, es eine unbestimmte Form ist, aber ich denke, ein bekannter Freund von Apple beschreibt es am besten:

„Stellen Sie sich vor, Sie haben 0 Cookies und teilen diese gleichmäßig auf 0 Freunde auf. Wie viele Cookies bekommt jede Person? Sehen Sie, es macht keinen Sinn. Und Cookie Monster ist traurig, dass es keine Cookies gibt. Und du bist traurig, dass du keine Freunde hast. “ - Siri (wirklich, versuche Siri zu fragen "Was ist 0 geteilt durch 0?")

Eine kompliziertere Frage mit Null, was ist 0⁰? Nun, per Definition, wenn Sie a zur Potenz von b haben, dann würde das Ergebnis mit a multipliziert mit sich selbst b-mal. Also muss es Null sein, oder? Weil jede mit Null multiplizierte Zahl Null ist. Wir wissen aber auch, dass a⁰ = 1 ist (für alle a ≠ 0), also sollte es vielleicht 1 sein? Oder sollte es undefiniert sein wie Division durch 0? Dies wurde in der Mathematik lange diskutiert, und es gibt für beide Seiten Argumente, wie die eigentliche Antwort lauten sollte. Es gibt hier eine interessante Website, die Argumente für beide Seiten liefert, aber die wichtigsten sind wie folgt: Auf der 0⁰ sollte undefinierte Seite sein, wir haben:

  1. Wir kennen a⁰ = 1 (für alle a ≠ 0), aber a⁰ = 1 (für alle a> 0). Dieser Widerspruch bedeutet, dass 0⁰ undefiniert sein sollte

Auf der Seite 0⁰ = 1 haben wir:

  1. Damit der Binomialsatz für x = 0 gilt, benötigen wir 0⁰ = 1
  2. 0⁰ steht für das leere Produkt (die Anzahl der Sätze von 0 Elementen, die aus einem Satz von 0 Elementen ausgewählt werden können), die per Definition 1 ist (dies ist auch der gleiche Grund, warum alles andere, was zur Potenz von 0 erhoben wird, 1 ist).

Was ist die Antwort? Nun, wir haben immer noch keine konkrete Antwort. Die meisten Menschen würden zustimmen, dass dies unbestimmt ist (da x ^ y als Funktion zweier Variablen am Ursprung nicht stetig ist). Aber beide Seiten haben gültige Argumente, und bis jemand einen konkreten Beweis für den einen oder anderen vorlegen kann, ist es wirklich unmöglich zu behaupten, ob einer der beiden wahr ist.

Jetzt fragen Sie sich vielleicht, was passiert, wenn Sie beide kombinieren. Was ist ∞ x 0? Wie wäre es mit ∞⁰? Nun, das Problem kommt ins Unendliche zurück, da es nur ein Konzept ist. Es gibt keine Möglichkeit, dies zu messen. Sie können nicht unendlich viele Gummibärchen oder unendlich viel Eis haben (obwohl ich sicher bin, dass wir uns alle wünschen, wir könnten es).

Meistens ist die Antwort undefiniert. Dies sind alles Beispiele für Fragen, die keine Antwort haben, weil wir einem Konzept wie der Unendlichkeit keinen sinnvollen Wert geben können. Natürlich gibt es eine ungerade Ausnahme wie 0 ^ ∞, die eine Art Wert von 0 hat. Wenn Sie die Grenze von 0 ^ n nehmen, da n gegen unendlich tendiert, ist sie Null. Aber das sind seltene Fälle, und selbst dann ist 0 ^ ∞ technisch immer noch nicht gleich 0, es kommt ihm nur sehr, sehr nahe.

Sie sehen, Unendlichkeit ist eine sehr interessante Sache, weil sie gleichzeitig so greifbar und abstrakt ist. Sie sehen es die ganze Zeit in mathematischen Lehrbüchern und Gleichungen, aber wir haben immer noch keine konkrete Definition oder einen konkreten Wert für das, was es ist.

Zero ist einfach großartig, weil es sein eigenes Ding macht. Manchmal spielt es gerne nach den Regeln, manchmal macht es sein eigenes Ding, und gelegentlich schließt es sich in einem Raum ein und weigert sich, mit irgendjemandem zusammenzuarbeiten.

Beide haben ihre eigenen erlösenden Eigenschaften, die auf dem Gebiet der Mathematik sehr nützlich sind. Sie haben auch ihre eigenen Macken, die nützlich und manchmal nützlich sein können, und einen Schmerz im Hintern bei anderen. Aber während das nur eine der Tatsachen des Lebens ist, ist es die Verwirrung von Unendlichkeit und Null.