10 unangenehme Momente in der Mathematikgeschichte

Wir haben alle unsere unangenehmen Momente erlebt. Es passiert etwas Unerwartetes, es gibt eine gewisse soziale Anspannung und ein persönliches Unbehagen, und Sie möchten wirklich darüber hinwegkommen oder vergessen, dass es jemals passiert ist. Aber was ist, wenn Sie ein strenger Mathematiker sind und gerade Ihre Welt widerlegt haben?

In der Mathematik ging es immer darum, die Welt durch Logik zu verstehen und in einer streng definierten mathematischen Sprache auszudrücken. Es ist wirklich bezeichnend, lehrreich und macht Spaß, die Mathematik zu beobachten, wenn sie (vorübergehend) keinen Sinn mehr ergibt.

1. Die Entdeckung irrationaler Zahlen

Die Schule von Athen zeigt unter fast allen möglichen antiken griechischen Philosophen Pythagoras in der linken Ecke

Da die Ursprünge der mathematischen Strenge im antiken Griechenland liegen, begann das mathematische Denken in der Nähe religiöser Überzeugungen, weshalb Zahlen göttliche Eigenschaften zugeschrieben wurden.

Die School of Pythagoras, ein okkultes Team früher Mathematiker, das wie alle Kulte das mathematische Wissen vorantrieb, basierte auf einigen fundamentalistischen Überzeugungen. Erstaunt über die Anwendbarkeit von Verhältnissen auf jedes praktische Problem, glaubten sie, dass Verhältnisse (ja, einfache geteilte Zahlen) göttlich sind, da sie alles erklären können, was auf der Welt geschieht.

Dementsprechend sollte alles, was auf der Welt geschieht, als Verhältnis ausgedrückt werden können, oder?

Stellen Sie sich nun ihre Überraschung vor, als sie die Quadratwurzel von 2 entdeckten, während sie den neu formulierten Satz von Pythagoras anwendeten. Diese irrationale Zahl (irrational bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier Zahlen ausgedrückt werden kann) widersetzte sich der Weltordnung, ausgedrückt durch die Göttlichkeit der Verhältnisse, und stellte ihre gesamte Philosophie in Frage.

Von den Folgen dieser revolutionären Entdeckung erschrocken, beschlossen sie, niemandem davon zu erzählen. Es wird auch gesagt, dass sie sogar den Mann ertränkten, der die Entdeckung gemacht hat, Hippasus. Ruhig wissenschaftlich, meinst du nicht?

2. Unendlichkeit

Die Entdeckung irrationaler Zahlen, die schon so schlecht war, brachte die Griechen vor eine schrecklichere Entdeckung: die Unendlichkeit. Da irrationale Zahlen durch eine unendliche Anzahl von Dezimalstellen gekennzeichnet sind, mussten die Griechen eine Erklärung dafür finden, wie eine endlose Reihe von Zahlen erzeugt werden kann. Der Begriff der Unendlichkeit ist heute schwer zu verstehen, geschweige denn ein Zeitalter, in dem Religion mit Wissenschaft verbunden war und ein mathematischer Glaube unser Verständnis von Gott nicht in Frage stellen sollte. Also, was haben die Griechen getan? Philosophen wie Aristoteles und Platon lehnten die Vorstellung einer absoluten Unendlichkeit ab, und Mathematiker entwickelten erfinderische Wege, um die Notwendigkeit der Unendlichkeit in der Geometrie zu umgehen, wie Eudoxus von Cnidus, der die Methode der Erschöpfung entwickelte, um die Fläche der Formen zu berechnen. Erst im späten 17. Jahrhundert ermutigten Newton und Leibniz, die Unendlichkeit durch die Verwendung von Infinitesimalen zu berücksichtigen, und John Wallis führte 1655 das bekannte Symbol der Unendlichkeit ein.

3. Zenos Paradoxe

Die Griechen gingen sicherlich ins Extreme, wenn es um philosophisches Denken ging.

Nachdem sein Vorgänger Heraklit behauptete, dass sich alles auf der Welt ständig ändert, behauptete Parmenides, dass sich nichts ändert. Infolgedessen ist Bewegung eine bloße Illusion, und daher sollte es unmöglich sein, Mathematik, die Sprache der Wahrheit nach den Griechen, zu verwenden, um sie zu beschreiben.

Zeno, einer von Parmenides 'Schülern, entwickelte eine Reihe von Paradoxien, um die Irrationalität der Bewegung zu beweisen. Der berühmteste, Achilles und seine Schildkröte, sieht so aus: Achilles rast gegen eine Schildkröte, die deutlich langsamer ist und den Vorteil hat, das Rennen 100 Meter vor ihm zu starten.

Wenn wir der Einfachheit halber annehmen, dass die Geschwindigkeiten der beiden Teilnehmer konstant sind und Achilles zehnmal schneller als die Schildkröte ist, können wir sagen, dass Achilles, wenn er den Startpunkt der Schildkröte erreicht, 10 Meter gelaufen ist. Also wird Achilles versuchen aufzuholen und bis er diesen nächsten Punkt erreicht, wird sich die Schildkröte einen zusätzlichen Meter bewegt haben.

Dieses Mathematikproblem der High School, das so einfach und klar wie es ist, führt uns zu der folgenden paradoxen Schlussfolgerung: Achilles wird die Schildkröte niemals erreichen, egal wie viel schneller er ist. Herzlichen Glückwunsch Zeno, du hast Bewegung unlogisch gemacht.

Es wurde angenommen, dass Zenos Paradoxe im Bereich der Metaphysik und der unruhigen Philosophen und Mathematiker seit Ewigkeiten existieren, aber heute können sie mit Kalkül erklärt werden, einem mathematischen Werkzeug, das die Griechen nicht besaßen. Dann gehen wir weiter.

4. Möbius-Streifen

Ein selbstgemachter Möbius-Streifen

Der lustig aussehende Möbius-Streifen, der auch 1858 von dem unglücklichen Listing entdeckt wurde, dessen Name die Geschichte der Mathematik unberührt ließ, ist eine Oberfläche mit nur einer Seite und nur einer Grenze, die oft verwendet wird, um junge Mathematikstudenten zu verwirren.

Sie können es einfach erstellen, indem Sie einen Papierstreifen nehmen, ihn drehen und dann die Enden des Streifens verbinden.

Als erstes Beispiel für eine Oberfläche ohne Orientierung hat es die Grundlagen der Mathematik nicht so sehr erschüttert wie die anderen Entdeckungen dieser Liste, aber es bot viele praktische Anwendungen, wie zum Beispiel einen widerstandsfähigen Gürtel, und inspirierte Mathematiker dazu unorientierbare Oberflächen wie die Klein-Flasche. (Der Name dieser Oberfläche stammt möglicherweise aus einem doppelten Zufall: Klein, sein Konzeptor, nannte sie ursprünglich Fläche, was auf Deutsch Oberfläche bedeutet, und klingt ähnlich wie Flasche, was Flasche bedeutet. Die Tatsache, dass sie auch wie eine Flasche aussah, scheint zu haben versiegelte die Umbenennung).

5. Cantors Unzählbarkeit reeller Zahlen

Cantor hat bereits 1874 bewiesen, dass es tatsächlich verschiedene Arten von Unendlichkeit gibt. Insbesondere als Beweis für die Unzählbarkeit reeller Zahlen bewies Cantor, dass diese Menge größer ist als die bereits unendliche Menge natürlicher Zahlen.

1891 lieferte er auch das diagonale Argument, ein Beweis, der so elegant war, dass er später als Werkzeug zum Nachweis durch die Verwendung eines Paradoxons übernommen wurde. Seine Bemerkung brachte die Theorie der Kardinalzahlen sowie Paradoxe hervor, die sich mit der Frage befassen: Wie viele Unendlichkeiten können Sie bewältigen?

6. Russells Paradoxon

Bertrand Russell war Mathematiker, Philosoph, Logiker, Mathematiker, Historiker, Schriftsteller, Sozialkritiker, politischer Aktivist und meiner Meinung nach eine Persönlichkeit, von der es sich zu studieren und zu inspirieren lohnt.

1901 entdeckte Russell eine Schwachstelle in Cantors bisher gut etablierter Mengenlehre, die ihn zu einem Widerspruch führte, den die mathematische Welt nicht übersehen konnte. Nach dieser Theorie kann jede Sammlung von Dingen eine Menge sein.

Russells widersprüchliches Beispiel, auch Barber's Paradox genannt, lautet wie folgt: Stellen Sie sich eine Stadt vor, die eine Sonderregel hat; Jeder Mann, der nicht von sich selbst rasiert wird, muss vom Friseur der Stadt rasiert werden. Die unangenehme Frage, die Sie selbst beantworten können, lautet: Wer rasiert den Friseur?

Diese Entdeckung führte ihn dazu, die bloßen Grundlagen der vorherigen Mengenlehre in Frage zu stellen und eine neue zu schaffen, die komplizierter als die später vorgeschlagene Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre war und nicht aufholte.

7. Gödels Unvollständigkeitssätze

Kurt Gödel, der Logiker, Mathematiker und Philosoph, der im 19. Jahrhundert die Grundlagen der Mathematik und Logik erschütterte.

Wenn die vorherigen Ereignisse etwas unangenehme Momente zu verursachen schienen, warten Sie auf die folgende unangenehme Schildkröte (und diese ist schlimmer als die von Achilles).

Wir sprechen über das 20. Jahrhundert. Die Leute wollten es nicht nur wissen. Sie wollten wissen, ob es möglich ist, es zu wissen und es zu beweisen. Pech für sie und das menschliche Bedürfnis, das Universum zu verstehen, veröffentlichte Gödel 1931 zwei Theoreme, die als Unvollständigkeitssätze bekannt sind.

Die technischen Details zu erklären ist ebenso schwierig wie die Schlussfolgerungen zu ziehen, da Gödel bewiesen hat, dass es unter Berücksichtigung eines konsistenten und vollständigen Systems wie der Sprache der Arithmetik Aussagen gibt, die sowohl wahr als auch nicht bewiesen werden können. Er illustrierte die Wahrheit seines Satzes mit dieser einfachen Aussage, inspiriert vom Paradox des Lügners: „Diese Aussage kann nicht bewiesen werden“. Wenn dies wahr ist, dann ist diese Aussage wahr und kann nicht bewiesen werden. Wenn dies falsch ist, kann diese Aussage bewiesen werden, was dem ursprünglichen Argument widerspricht, dass sie nicht bewiesen werden kann.

Dies waren sehr schlechte Nachrichten für die Mathematik und beraubten sie ihres ursprünglichen Glanzes, die absolute Wahrheit zu erklären. Es war auch ein schreckliches Comeback von Hilberts Suche nach Wissen, ausgedrückt in seiner Aussage „Wir müssen es wissen, wir werden es wissen“.

8. Tarskis Undefinierbarkeitssatz

Es scheint, dass Tarski von der Verzweiflung von Gödel inspiriert wurde. 1936 lieferte er Beweise für das Undefinierbarkeitsproblem.

Obwohl die Beobachtungen von Tarski auch in Gödels Arbeit enthalten sind, wird argumentiert, dass Tarskis Arbeit eine tiefgreifendere philosophische Wirkung hat. Tarski gelangte zu dem allgemeinen Schluss, dass eine Sprache die Wahrheit nicht an sich definieren kann. Obwohl dies eine wichtige Einschränkung ist, schlägt er vor, dass die Verwendung einer leistungsfähigeren Metasprache ausreicht, um die Wahrheit in der einfacheren Sprache zu definieren.

Nun, ein gewöhnlicher Mensch mag denken, dass dies das Problem löst, aber für einen Mathematiker, der nach der „einen Sprache, die sie alle regiert“ sucht, ist dies nicht so tröstlich.

9. Das Halteproblem

Alan Turing versuchte, das Entscheidungsproblem anzugehen, bei dem es in einfachen Worten darum ging, einen Algorithmus zu finden, der beantworten kann, ob eine Aussage wahr ist oder nicht. Um dieses konzeptionell einfache, aber schwer zu lösende Problem anzugehen, formulierte er es in das Problem des Anhaltens: Gibt es eine Maschine, die Ihnen sagen kann, ob ein Programm bei einem bestimmten Problem anhalten wird?

Anhalten bedeutet, dass es nicht für immer wiederholt wird. Aber wie beweisen Sie die Unmöglichkeit einer Maschine, von der Sie so wenig wissen? Hier bieten sich Paradoxe an.

Alan Turing ging zunächst davon aus, dass es eine Maschine gibt, die ein Eingabeprogramm und ein Problem enthält und die Frage beantwortet, ob sie anhalten wird oder nicht. Anschließend erweiterte er diese Maschine, indem er ihre Ausgabe auf sich selbst zurückschleifte, wenn die Antwort Ja war, und anhielt, wenn die Antwort Nein war.

Wird die erweiterte Maschine beim Anhalten anhalten? Alans Antwort lautet: Wenn ja, dann nein, wenn nein, dann ja. Klingt nach schlechten Nachrichten für die Logik.

10. Der Satz ohne freies Mittagessen

Der Übergang ins 21. Jahrhundert bedeutete einen Übergang von der reinen, fast philosophischen Mathematik zu angewandten Bereichen wie Statistik und Optimierung.

Wenn Sie sich für Optimierung interessieren, glauben Sie nicht, dass Sie dadurch ein Perfektionist werden? Und würde ein Perfektionist nicht den optimalen Weg finden wollen, um Dinge zu optimieren?

Es scheint, dass David Wolpert und William Macready dieses Bedürfnis erkannt und eine Antwort gefunden haben, die natürlich überhaupt nicht ermutigend war (sonst wäre sie nicht auf unserer Liste). Gemäß dem 1997 veröffentlichten Theorem No Free Lunch for Optimization sind „zwei beliebige Optimierungsalgorithmen gleichwertig, wenn ihre Leistung über alle möglichen Probleme gemittelt wird“.

Dies kann herzzerreißend sein, bedeutet jedoch nicht, dass eine Optimierung zwecklos ist. Wir werden einfach nie einen allgemein optimalen Weg finden, dies zu tun.

Diese Momente ließen die Welt der Mathematik unangenehm erscheinen, was ein leichter Begriff für die Gefühle der Verzweiflung und des Chaos ist, die Wissenschaftler erleben, wenn das Universum keinen Sinn mehr ergibt. Aber Schock ist der Weg, um die Wissenschaft voranzubringen.

Es wurden mathematische Felder erstellt, wir bekamen die Turing-Maschine, ausgefallene Oberflächen und vor allem die Möglichkeit, unsere Wahrnehmungen zu überprüfen und unsere Werkzeuge entsprechend anzupassen.

Diese fragenden Momente haben uns geholfen, uns intellektuell weiterzuentwickeln.

Mit Ausnahme der Unvollständigkeitssätze. Diese waren nur verheerend.