Sind einige Unendlichkeiten größer als andere?

Die schönsten mathematischen Beweise, vol. 1, Maxime Coutte.

Nebenbei bemerkt, ich bin kein Mathematiker, sondern ein Gymnasiast - der seit einem Jahr nicht mehr zur Schule gegangen ist - und größtenteils ein begeisterter Informatiker und Programmierer. Trotzdem habe ich mir selbst Mathematik beigebracht und möchte die Schönheit einiger meiner Lieblingsbeweise aus der Mathematik in dieser Reihe vorstellen.

Wissen Sie, wie man zählt?

Wenn Sie sich fragen, ob einige Unendlichkeiten größer sein können als andere, ist es wichtig zu wissen, was es bedeutet, "größer" zu sein. Dazu gehört auch, die Zählbarkeit zu definieren. Wir können dies aus der Praxis ableiten: Wenn Sie Äpfel zählen, ordnen Sie jedem eine Zahl zu, die mit 1 beginnt und jedes Mal um 1 erhöht wird, bis keine Äpfel mehr zu zählen sind.

Mit anderen Worten, Sie koppeln jeden Apfel oder jedes Element eines Sets (oder Korbs) mit einer eindeutigen positiven Ganzzahl. Daher können wir eine abzählbare Menge als eine Menge definieren, für die wir jedes Element mit einem eindeutigen Element von N koppeln können, der Menge der natürlichen Zahlen {0, 1, 2,. . .}.

Es ist erwähnenswert, dass wir jedes Element von N, die Menge der natürlichen Zahlen, mit jedem Element von sich selbst paaren können. Daher ist N eine abzählbar unendliche Menge; Wir könnten jede Zahl der unendlichen Liste natürlicher Zahlen zählen, wenn wir unendlich viel Zeit hätten ...

Gibt es mehr Ganzzahlen als natürliche Zahlen?

Ist Z, die Menge aller ganzen Zahlen {…, -2, −1,0,1,2,…}, größer als N, die Menge der natürlichen Zahlen {0, 1, 2,. . .}? Scheint wie eine seltsame Frage, oder? Ich kann mich noch an die Aufregung und Freude erinnern, die mein bester Freund und ich in der Mittelschule geteilt haben, als wir uns überraschenderweise bewiesen haben, dass Z tatsächlich die gleiche Größe wie N hat. Kardinalität “, dh die Anzahl der Elemente in einer Menge.

Der Beweis ist eigentlich ganz einfach: Wir können jede negative Zahl der Menge Z mit einer eindeutigen natürlichen ungeraden Zahl und jede positive Zahl der Menge Z mit einer eindeutigen geraden Zahl koppeln. Deshalb können wir Z mit N zählen.

Obwohl wir vielleicht denken, dass es mehr positive und negative Ganzzahlen gibt als nur positive Ganzzahlen, können wir jedes Element von Z mit einem eindeutigen Element von N paaren.

Einige Dinge, die Sie selbst mit unendlich viel Zeit nicht zählen konnten,

Hier werden wir beweisen, dass die Menge R aller reellen Zahlen unzählbar ist und wir werden dies mit Cantors diagonalem Argument tun.

Zunächst nehmen wir an, dass wir alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 auflisten können.

Zum Beispiel können wir annehmen,

Betrachten Sie nun die Zahl d,

d, aus der Diagonale unserer Liste gemacht. Die erste Ziffer von d ist die erste Ziffer der ersten Nummer der Liste, die zweite Ziffer von d ist die zweite Ziffer der zweiten Nummer der Liste usw. Fügen Sie diagonal Ziffern für die gesamte Liste hinzu.

Also, für jeden i,

Zum Beispiel in Anbetracht dieser Liste,

Nun konstruieren wir die Zahl x,

so dass sich die i-te Ziffer von x von der i-ten Ziffer von d unterscheidet und nicht gleich 9 ist, also

Zum Beispiel für d = 0.16392 ... können wir x = 0.27413 ... konstruieren und für jede Ziffer von d fortfahren, da selbst wenn xi ≠ di noch 8 mögliche Ziffern sind, di gleich sein kann.

Wir können nun beweisen, dass x in der Liste aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1 fehlt.

Konstruktionsbedingt unterscheidet sich die erste Ziffer von x von der ersten Ziffer von d, und die erste Ziffer von d ist die erste Ziffer der ersten Ziffer der Liste. Daher kann x nicht die erste Nummer der Liste sein, da es eine andere erste Ziffer hat.

Konstruktionsbedingt unterscheidet sich die zweite Ziffer von x von der zweiten Ziffer von d, und die zweite Ziffer von d ist die zweite Ziffer der zweiten Nummer der Liste. Daher kann x nicht die zweite Nummer der Liste sein, da es eine andere zweite Ziffer hat. Dies gilt für alle Nummern auf der Liste.

Mit anderen Worten,

was konstruktionsbedingt nicht wahr sein kann,

Wir haben gezeigt, dass x immer fehlt, wenn Sie eine Liste aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1 erstellen. Dieser Widerspruch beweist, dass die Menge aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1 nicht abzählbar ist und daher auch R, die Menge aller reellen Zahlen, nicht abzählbar ist. Sie können nicht jede reelle Zahl mit einer eindeutigen natürlichen Zahl koppeln.

Dies bedeutet, dass die Kardinalität von R größer ist als die Kardinalität von N, daher sind einige Unendlichkeiten größer als andere.

Referenzen, Georg Cantor. ”Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre”. 1891.

Ich bin Maxime Coutte, Mitbegründer von Relativty.com, einem VR-Headset, das ich von Grund auf neu entwickelt habe. Ich lerne sehr gerne und interessiere mich für eine Vielzahl von Themen.
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