Sind einige Unendlichkeiten größer als andere?

Die schönsten mathematischen Beweise, vol. 1, Maxime Coutte.

Nebenbei bemerkt, ich bin kein Mathematiker, sondern ein Gymnasiast, der seit einem Jahr nicht mehr zur Schule gegangen ist, und hauptsächlich ein Informatik-Enthusiast und Programmierer. Trotzdem habe ich mir selbst Mathematik beigebracht und möchte die Schönheit einiger meiner bevorzugten mathematischen Beweise in dieser Reihe teilen.

Wissen Sie, wie man zählt?

Wenn Sie sich fragen, ob einige Unendlichkeiten größer sein können als andere, ist es wichtig zu wissen, was es bedeutet, „größer“ zu sein, und dazu muss die Zählbarkeit definiert werden. Wir können ein Gefühl dafür aus der Praxis gewinnen: Wenn Sie Äpfel zählen, weisen Sie jedem eine Zahl zu, beginnend mit 1 und jedes Mal um 1 erhöht, bis keine Äpfel mehr zu zählen sind.

Mit anderen Worten, Sie koppeln jeden Apfel oder ein beliebiges Element eines Satzes (oder Korbs) mit einer eindeutigen positiven Ganzzahl. Daher können wir eine zählbare Menge als eine Menge definieren, für die wir jedes Element mit einem eindeutigen Element von N, der Menge der natürlichen Zahlen {0, 1, 2 ,. . .}.

Es ist erwähnenswert, dass wir jedes Element von N, die Menge der natürlichen Zahlen, mit jedem Element von sich selbst koppeln können. Daher ist N eine zählbar unendliche Menge; Wir könnten jede Zahl der unendlichen Liste natürlicher Zahlen zählen, wenn wir unendlich viel Zeit hätten ...

Gibt es mehr ganze Zahlen als natürliche Zahlen?

Ist Z, die Menge aller ganzen Zahlen {…, -2, −1,0,1,2,…}, größer als N, die Menge der natürlichen Zahlen {0, 1, 2 ,. . .}? Scheint eine seltsame Frage zu sein, oder? Ich kann mich noch gut an die Aufregung und Freude erinnern, die mein bester Freund und ich in der Mittelschule geteilt haben, als wir uns überraschenderweise gegenseitig bewiesen haben, dass Z tatsächlich die gleiche Größe wie N hat. Hier ist der genaue Begriff nicht wirklich "Größe", sondern " Kardinalität “, dh die Anzahl der Elemente in einer Menge.

Der Beweis ist eigentlich ganz einfach: Wir können jede negative Zahl der Menge Z mit einer eindeutigen natürlichen ungeraden Zahl koppeln und jede positive Zahl der Menge Z mit einer eindeutigen geraden Zahl koppeln. Deshalb können wir Z mit N zählen.

Obwohl wir vielleicht denken, dass es mehr positive und negative ganze Zahlen als nur positive ganze Zahlen gibt, können wir jedes Element von Z mit einem eindeutigen Element von N koppeln.

Einige Dinge, die Sie selbst mit unendlich viel Zeit nicht zählen konnten,

Hier werden wir beweisen, dass die Menge R aller reellen Zahlen unzählbar ist, und wir werden dies mit Cantors diagonalem Argument tun.

Zunächst nehmen wir an, dass wir alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 auflisten können.

Zum Beispiel können wir annehmen,

Betrachten Sie nun die Zahl d,

d, aus der Diagonale unserer Liste gemacht. Die erste Ziffer von d ist die erste Ziffer der ersten Nummer der Liste, die zweite Ziffer von d ist die zweite Ziffer der zweiten Nummer der Liste usw. Hinzufügen von Ziffern diagonal für die gesamte Liste.

Also, für jedes i,

Zum Beispiel angesichts dieser Liste,

Nun konstruieren wir die Zahl x,

so dass sich die i-te Ziffer von x von der i-ten Ziffer von d unterscheidet und nicht gleich 9 ist, also

Zum Beispiel für d = 0,16392… können wir x = 0,27413 konstruieren… und für jede Ziffer von d fortfahren, da selbst wenn xi ≠ di noch 8 mögliche Ziffern di gleich sein können.

Wir können nun beweisen, dass x in der Liste aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1 fehlt.

Konstruktionsbedingt unterscheidet sich die erste Ziffer von x von der ersten Ziffer von d, und die erste Ziffer von d ist die erste Ziffer der ersten Nummer der Liste. X kann also nicht die erste Nummer der Liste sein, da es eine andere erste Ziffer hat.

Konstruktionsbedingt unterscheidet sich die zweite Ziffer von x von der zweiten Ziffer von d, und die zweite Ziffer von d ist die zweite Ziffer der zweiten Nummer der Liste. X kann also nicht die zweite Nummer der Liste sein, da es eine andere zweite Ziffer hat. Dies gilt für alle Nummern auf der Liste.

Mit anderen Worten,

was konstruktionsbedingt nicht wahr sein kann,

Wir haben gezeigt, dass x immer fehlt, wenn Sie eine Liste aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1 erstellen. Dieser Widerspruch beweist, dass die Menge aller reellen Zahlen zwischen 0 und 1 unzählbar ist und dass daher auch R, die Menge aller reellen Zahlen, unzählbar ist. Sie können nicht jede reelle Zahl mit einer eindeutigen natürlichen Zahl koppeln.

Dies bedeutet, dass die Kardinalität von R größer ist als die Kardinalität von N, daher sind einige Unendlichkeiten größer als andere.

Referenzen, Georg Cantor. ”Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre”. 1891.

Ich bin Max Coutte, Mitbegründer von Relativty.com, einem VR-Headset, das ich von Grund auf neu entwickelt habe und dessen Code und Hardware ich als Open-Source-Lösung verwendet habe. Folgen Sie mir auf Twitter @maxcoutte.