Jenseits von Richtig und Falsch: Warum Sie ein besserer Mathematiker werden, wenn Sie sich mit alten Vermutungen befassen

1995 legte Andrew Wiles seinen Beweis für Fermats Last Theorem vor - eine uralte Vermutung, die sich als Theorem tarnt (vor allem, weil wer an Fermat zweifeln würde, wenn er schreibt, dass er den Beweis erbracht hat, dieser aber für die Ränder zu groß war?) Und wenn Sie Hatten Sie jemals die Kühnheit, sich einem historisch unbewiesenen Postulat zu nähern? Sie können sich vorstellen, wie sehr Andrew Wiles an diesem Beweis gearbeitet hat. Zwischen der ersten Vermutung im Jahr 1637 und Wiles 'Beweis im Jahr 1995 zielte eine lange Liste fehlgeschlagener Mathematik darauf ab, Fermat das Gegenteil zu beweisen. Dies ist von Natur aus keine schlechte Sache - in der Mathematik geht es nicht nur darum, richtig zu liegen, sondern auch darum, mit Anmut zu scheitern und die Demut zu haben, aus Ihren Fehlern zu lernen.

Als ich als Student anfing, Algebra zu lernen, wurde mir klar, wie viel Mathematik ausmacht. „Tut es weh, das anzunehmen?“ Mit „Können wir das beweisen?“ Lernte ich etwas über diese Vermutung und diese Theorie - wie die Lonely Runner Conjecture und ob ungerade perfekte Zahlen existieren oder nicht. Besonders cool finde ich Brocards Vermutung. Vielleicht mag ich nur Primes. Eine bestimmte Vermutung fällt mir jedoch auf und steht im Mittelpunkt dieses Artikels: The Carmichael Conjecture.

Schöne Alliteration

Die Carmichael-Vermutung befasst sich mit einer Eigenschaft der Euler-Totientenfunktion. Die Euler-Totientenfunktion hat mit der Identifizierung der Anzahl der Elemente in der multiplikativen Gruppe der ganzen Zahlen mod n über die Identifizierung von Zahlen k zu tun, die kleiner als die Zahl n, aber größer als 1 sind, die gcd (n, k) = lösen 1. Für ein schnelles und unsauberes Beispiel sagt uns die Euler-Totientenfunktion, dass die Kardinalität der multiplikativen Gruppe der ganzen Zahlen mod 12 die Zählung aller Zahlen k ist, so dass 1 ≤ k <12 und gcd (n, k) = 1. Sie können dies manuell überprüfen oder die Multiplizitätseigenschaft der Euler-Totientenfunktion verwenden und diese sehr schnell lösen.

Die Eigenschaft: Bei einer Zahl hat n eine Primfaktorisierung

die multiplikative Eigenschaft der Euler-Totientenfunktion besagt

Woher

ϕ (12) = ϕ (3) ϕ (2²) = [(3–1) * 3⁰] [(2–1) * 2¹] = 2 * 2 = 4

und dies wird durch die multiplikative Gruppe der ganzen Zahlen mod 12 mit {1,5,7,11} verifiziert

Betrachten Sie nun mit diesem Verständnis der Vielheit der Euler-Totientenfunktion die Carmichael-Vermutung:

Für jedes n gilt: n (n) = n (m) wobei n where m

Wir sagen, dass es für die multiplikative Gruppe einer bestimmten Zahl eine andere, unterschiedliche multiplikative Gruppe mit derselben Kardinalität gibt. Scheint einfach genug, oder? Hier ist die große Pointe: Dies wurde nur für ungerade Zahlen bewiesen! (siehe den Beweis unten)

"Also, warum wurde es nicht gelöst?"

Ich habe den größten Teil meines Schuljahres und den Sommer verbracht, nachdem ich mit dieser Frage fertig geworden war, und ich habe einige Fortschritte erzielt - es scheint nur so offensichtlich, und es muss wahr sein! Es gibt einfach so viele Zahlen, wie könnte es nicht zwei Zahlen mit der gleichen Gesamtfunktionsbewertung geben? Aber Mathe arbeitet nicht an einer rhetorischen Frage: "Wie könnte es nicht sein?" Ich wollte unbedingt mit jedem darüber sprechen - zwischen meiner geschätzten Professorin an der Universität von Utah, meiner Freundin und der Genetikerin, die mit mir in einem Krebslabor arbeitet. Jeder hatte die gleiche Art des Mitnehmens: "Wenn es so offensichtlich erscheint, warum wurde es nicht gelöst?"

Das ist eine faire Frage. Ich denke, die meisten Leute behandeln Mathematik als eine richtige oder falsche Art von Wissenschaft - kein Raum, um verwaschen oder unsicher zu sein. Dies führt zu vielen Problemen, wenn ich die Spitze in meinem Kopf nicht in 2 Sekunden berechnen kann oder wenn ich versehentlich zwei Zahlen vor jemandem falsch addiere: Die Leute erwarten, dass sich die Mathematik in einem Zustand befindet, der entweder bewiesen oder widerlegt ist - Sie erkennen die Legitimität des Unbewiesenen nicht an, und wenn sie das Unbewiesene erkennen, betrachten sie alle noch ausstehenden Beweise als nutzlos, um daran zu arbeiten, weil „sicherlich jemand es bis jetzt gelöst hätte!“ Warum Zeit damit verbringen, sich zu irren?

Hier ist mein Punkt: Die Zeit, die ich mit der Bearbeitung dieser Frage verbracht habe - von den meisten als vergeblicher, verschwenderischer Versuch angesehen - hat mich gelehrt, geduldig, vorsichtig und dennoch wagemutig in meiner Mathematik zu sein. Es brachte mir Stil und Finesse bei und erlaubte mir vor allem zu spielen. Es zeigte mir, dass es in Ordnung war, sich zu irren, wenn die Leute erwarteten, dass Sie sich irren, und es war in Ordnung, sich Zeit zum Lernen zu nehmen. Ich habe gelernt, was es bedeutet, sicher zu sein, und das heißt nicht, dass es kein Gegenbeispiel gibt, nur weil Sie nicht an ein Gegenbeispiel denken können. Haben Sie keine Angst, über Ihren Kopf hinauszukommen, und bitten Sie um Hilfe, wenn Sie sie brauchen. Die Entwicklung Ihrer mathematischen Reife braucht Zeit, und es kommt nicht immer darauf an, dass Sie richtig liegen oder die einfachen Probleme lösen. Vertrauen Sie sich selbst genug, um zu versuchen, und Mathematik wird dadurch besser, und Sie werden es auch.

Ungerade Anzahl Carmichael Proof

Wenn eine Zahl n ungerade ist, können Sie sie für einige m nicht als n = 2 m schreiben. Wenn Sie dies wissen, betrachten Sie ϕ (2) = 1 und nehmen Sie n ungerade als 1, 3 mod 4