Stellt die Mathematik die Wahrheit zur Verfügung?

Wenn es nicht kaputt ist, beheben Sie es nicht. Leider ist die Mathematik, wie Sie wissen, pleite. Es tut uns leid.

Mathematik erklärt das Universum - und doch sind seine Grundlagen weniger sicher als Sie denken

"Aber warum sollte es mich interessieren?", Höre ich Sie sagen

Auch wenn ich falsch verstehe, wie Mathematik zu ihren „Wahrheiten“ gelangt, ist sie doch immer noch „praktikabel“, oder? Komm schon, mein iPhone schaltet sich ein, Flugzeuge bleiben am Himmel ... Dennoch war es für Jäger und Sammler „praktikabel“ anzunehmen, dass die Welt flach ist. Es war „praktikabel“, die Dogmen anzunehmen, die vor der Aufklärung aufgestellt wurden. Wir brauchen eine ehrliche Untersuchung der Grundlagen der Mathematik - genauso wie es den Fortschritt behindert hätte, frühere „praktikable“ Wahrheiten nicht zu untersuchen, ist es auch schädlich, die Mathematik niemals in Frage zu stellen.

Was willst du von mir?

Ich möchte Sie davon überzeugen, dass die Mathematik, obwohl sie eine der besten Quellen für menschliches Wissen und menschliche Schlussfolgerungen ist, weniger sichere Grundlagen hat, als Sie denken.

Warum ist das?

Sie sehen, Mathematik ist mehr wie eine Wissenschaft, als Sie erwarten. Um zu zeigen, dass etwas wahr ist, müssen Sie eine Reihe von Axiomen und eine vereinbarte Beweislast haben. In der Wissenschaft gibt es jedoch „praktikable“ Theorien und keine Endwahrheiten. Die Mathematik behauptet, dass 2 + 2 = 4 und dies mehr als eine Theorie ist.

Um zu erklären, was Axiome und Beweislast sind, hier ein Beispiel. Ich frage dich, ob der Vogel blau ist. Wir gehen von viel geteiltem Wissen über Vögel, Sehvermögen und die Welt aus: Dies sind die Axiome für unsere Diskussion. Wenn ich zum Beispiel die Existenz von Vögeln leugne, wird diese Diskussion nicht sehr weit kommen! Ebenso wird es unmöglich sein, mathematische Aussagen zu beweisen, wenn Sie die Axiome der Mathematik leugnen. Es gibt auch die Beweislast. Wenn wir in diesem Fall beide auf den Vogel schauen und feststellen, dass er blau ist, ist die Angelegenheit erledigt, d. H., Dass das Sehen des Vogels blau genug ist, um uns davon zu überzeugen, dass der Vogel blau ist. Es ist klar, dass wir zusätzliche Zweifel haben könnten - vielleicht sind unsere Augen fehlerhaft oder der Vogel ist eine seltsame Art von Drohne. Im normalen Leben ignorieren wir jedoch ausgefallenere Möglichkeiten.

Ich werde ein berühmtes mathematisches Beispiel verwenden, um einige der hier behandelten Probleme hervorzuheben. Ich werde zeigen, warum Mathematik traditionell als bestimmtes Wissen angesehen wird, aber am Ende zeige ich, warum es nicht so ist.

So einfach wie ABC

Damit andere Mathematiker Ihre Arbeit überprüfen können, benötigen sie Beispiele, um sich an die Notation und Argumentation zu gewöhnen, anstatt sich mit einer ganzen Reihe neuer Ideen auf einmal zu befassen. Die Beweislast in der Mathematik besteht nur darin, dass andere Mathematiker Ihre Arbeit sorgfältig prüfen. Daher sind Beispiele von entscheidender Bedeutung. Hier schleicht sich der erste empirische Aspekt ein.

Wie können Sie sicher sein, dass die anderen Mathematiker jeden möglichen Fehler entdecken? In der Praxis führt dies dazu, dass sie die Theorie anhand von Beispielen testen, die sie bereits kennen. Es sieht also schon ein bisschen wie eine Wissenschaft aus, wobei neue Theorien aufgebaut und anhand der Ergebnisse älterer Ergebnisse getestet werden.

Kürzlich behauptete ein japanischer Mathematiker, ein sehr schwieriges Problem gelöst zu haben, das als "ABC-Vermutung" bezeichnet wird. Der Mathematiker hat es jedoch versäumt, die ganze Reihe neuer Konzepte und Notationen zu erklären, die entwickelt wurden, oder Beispiele zu liefern. Weil seine frühere Arbeit so sorgfältig war, wird sein Beweis ernst genommen, aber er hat so viele neue Ideen entwickelt, dass es nahezu unmöglich ist, sie zu überprüfen. Um Ihnen einen Vorgeschmack zu geben, hat er eine so genannte "interuniverselle Teichmüller-Theorie" entwickelt. Es gab mehrere Workshops zu seinen Ideen, die alle verblüfften.

Ja. Aber es ist immer noch keine Wissenschaft

Menschen kämpfen wirklich mit abstrakten Konzepten. Daher das Bedürfnis nach Beispielen und ein Anschein von Empirismus. Die Mathematik scheint jedoch wesentlich anders zu sein! Es ist eine Beweismethode, bei der Sie mit einer Reihe von Axiomen beginnen und dann die Implikationen finden. In der Physik machen Sie eine „bestmögliche Vermutung“ darüber, was wahr ist, und prüfen, ob es mit dem übereinstimmt, was passiert. Und dann müssen Sie Ihre Theorie immer wieder grundlegend ändern. Eine Mathematikerin versteht ihre Axiome viel deutlicher und verhält sich dann wie eine Deduktionsmaschine. Ein Physiker zeigt, dass eine bestimmte Theorie zu Beobachtungen passt, und dann läuft er damit. Der Physiker sieht, wie weit er damit laufen kann, und nimmt dann Änderungen vor, wenn es schief geht.

Der Mathematiker verwendet anscheinend nur Beispiele, um abstrakte deduktive Aussagen zu unterstützen, ist aber grundsätzlich nicht empirisch.

Stellen Sie sich ein undichtes Boot vor

Der Physiker repariert ein undichtes Boot und gibt sich damit zufrieden, zu schwimmen, bis die Welt das nächste Leck aufdeckt. Die Mathematikerin ist stolz auf ein geschicktes, sorgfältig hergestelltes Gefäß, in dem sie die Position jedes Holz- und Wassermoleküls kennt - es wird keine Undichtigkeiten geben. Der "ideale" Mathematiker würde keine konkreten Beispiele benötigen, um abstrakte Konzepte zu verstehen. Der ideale Physiker braucht empirische Daten und Experimente!

Wenn das Boot eines Mathematikers undicht ist

Noch -

Sowohl in Bezug auf die Axiome der Mathematik als auch in Bezug auf die Beweislast gibt es Anlass zur Sorge.

Wenn ein Mathematiker abstrakte Axiome und eine akzeptable Beweislast wählt, scheint er den Ansatz eines Physikers zu verfolgen. Sie schafft Axiome und eine Beweislast und sieht, wie es läuft. Wenn sie in Widerspruch gerät, war entweder die Beweislast zu gering oder die Axiome sind falsch.

Im 19. Jahrhundert geschah dies. Mathematiker stellten fest, dass ihre aktuellen Axiome und Beweislast zu Widersprüchen an bestimmten Stellen führten. So erhöhten sie ihre Strenge sowohl bei den Grundlagen der Mathematik als auch bei der geforderten Beweislast.

Sobald also die Beweislast und die Axiome in der Mathematik akzeptiert sind, unterscheidet sie sich wesentlich von der Physik, bei der es viel weniger darum geht, ihre Modelle radikal zu ändern. Die Wahl der Axiome und die Beweislast sind jedoch wissenschaftlicher, als Sie denken. Mathematiker haben diese in der Vergangenheit angepasst, um Widersprüche zu vermeiden, ebenso wie Wissenschaftler Theorien an neue empirische Daten anpassen.

Und wenn das mathematische Wissen weniger sicher ist als wir dachten, bleibt das gesamte Universum auch ein Mysterium.

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http: // https://mathoverflow.net/questions/106560/philosophy-behind-mochizukis-work-on-the-abc-conjecture/106658#106658

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