Bietet Mathematik Wahrheit?

Wenn es nicht kaputt ist, reparieren Sie es nicht. Leider ist die Mathematik, wie Sie sie kennen, pleite. Es tut uns leid.

Die Mathematik erklärt das Universum - doch seine Grundlagen sind weniger sicher als Sie denken

"Aber warum sollte es mich interessieren?" Ich höre dich sagen

Selbst wenn ich falsch verstehe, wie die Mathematik zu ihren "Wahrheiten" gelangt, ist sie doch "praktikabel", oder? Komm schon, mein iPhone schaltet sich ein, Flugzeuge bleiben am Himmel ... Dennoch war es für Jäger und Sammler "praktikabel" anzunehmen, dass die Welt flach war. Es war "praktikabel", die Dogmen anzunehmen, die vor der Erleuchtung gehalten wurden. Wir brauchen eine ehrliche Prüfung der Grundlagen der Mathematik - so wie die Nichtprüfung früherer „praktikabler“ Wahrheiten den Fortschritt behindert hätte, ist es auch schädlich, die Mathematik niemals in Frage zu stellen.

Was willst du von mir?

Ich möchte Sie davon überzeugen, dass die Mathematik, obwohl sie eine der besten Quellen für menschliches Wissen und Schlussfolgerungen ist, weniger sichere Grundlagen hat als Sie denken.

Warum ist das?

Sie sehen, Mathematik ist eher eine Wissenschaft als erwartet. Um zu zeigen, dass etwas wahr ist, benötigen Sie eine Reihe von Axiomen und eine vereinbarte Beweislast. In der Wissenschaft gibt es jedoch „praktikable“ Theorien, keine Endwahrheiten. Die Mathematik behauptet, dass 2 + 2 = 4 ist und dass dies mehr als eine Theorie ist.

Um zu erklären, was Axiome und Beweislast sind, hier ein Beispiel. Ich frage dich, ob der Vogel blau ist. Wir gehen von viel geteiltem Wissen über Vögel, Sehkraft und die Welt aus: Dies sind die Axiome für unsere Diskussion. Wenn ich zum Beispiel die Existenz von Vögeln leugne, wird diese Diskussion nicht sehr weit kommen! Wenn Sie die Axiome der Mathematik leugnen, ist es ebenfalls unmöglich, mathematische Aussagen zu beweisen. Es gibt auch die Beweislast. Wenn wir in diesem Fall beide auf den Vogel schauen und feststellen, dass er blau ist, ist die Angelegenheit geklärt, dh dass es ausreichend ist, ihn davon zu überzeugen, dass der Vogel blau ist. Natürlich könnten wir zusätzliche Zweifel haben - vielleicht sind unsere Augen fehlerhaft oder der Vogel ist eine seltsame Art von Drohne. Im normalen Leben ignorieren wir jedoch ausgefallenere Möglichkeiten.

Ich werde ein berühmtes Beispiel in Mathematik verwenden, um einige der Probleme hervorzuheben, die hier im Spiel sind. Ich werde zeigen, warum Mathematik traditionell als bestimmtes Wissen angesehen wird, aber am Ende zeigen, warum dies nicht der Fall ist.

So einfach wie ABC

Damit andere Mathematiker Ihre Arbeit überprüfen können, benötigen sie Beispiele, um sich an die Notation und Argumentation zu gewöhnen, anstatt sich mit einer ganzen Reihe neuer Ideen gleichzeitig zu befassen. Die Beweislast in der Mathematik liegt nur bei anderen Mathematikern, die Ihre Arbeit sorgfältig prüfen. Beispiele sind daher von entscheidender Bedeutung. Der erste empirische Aspekt schleicht sich hier ein.

Wie können Sie sicher sein, dass die anderen Mathematiker jeden möglichen Fehler erkennen? In der Praxis führt dies dazu, dass sie die Theorie anhand von Beispielen von Dingen „testen“, die sie bereits kennen. Es sieht also schon ein bisschen wie eine Wissenschaft aus, mit neuen Theorien, die auf den Ergebnissen älterer Ergebnisse aufbauen und getestet werden.

Kürzlich behauptete ein japanischer Mathematiker, ein sehr schwieriges Problem namens "ABC-Vermutung" gelöst zu haben. Der Mathematiker konnte jedoch nicht die ganze Reihe neuer Konzepte und Notationen erklären oder Beispiele liefern. Weil seine früheren Arbeiten so sorgfältig waren, wird sein Beweis ernst genommen, aber er hat so viele neue Ideen entwickelt, dass es nahezu unmöglich ist, dies zu überprüfen. Um Ihnen einen Vorgeschmack zu geben, hat er etwas entwickelt, das sich "Interuniverselle Teichmüller-Theorie" nennt. Es gab mehrere Workshops zu seinen Ideen, die alle verblüfften.

Ja. Aber es ist immer noch keine Wissenschaft

Menschen kämpfen wirklich mit abstrakten Konzepten. Daher die Notwendigkeit von Beispielen und ein Anschein von Empirismus. Die Mathematik scheint jedoch wesentlich anders zu sein! Es ist eine Beweismethode, bei der Sie mit einer Reihe von Axiomen beginnen und dann die Implikationen finden. In der Physik raten Sie am besten, was wahr ist, und prüfen, ob es mit dem übereinstimmt, was passiert. Und dann müssen Sie Ihre Theorie immer wieder grundlegend ändern. Eine Mathematikerin ist viel klarer über ihre Axiome und verhält sich dann wie eine Abzugsmaschine. Ein Physiker zeigt, dass eine bestimmte Theorie zu Beobachtungen passt, und dann läuft er damit. Der Physiker sieht, wie weit er damit laufen kann, und nimmt dann Änderungen vor, wenn es schief geht.

Der Mathematiker verwendet anscheinend nur Beispiele, um abstrakte deduktive Aussagen zu unterstützen, ist aber grundsätzlich nicht empirisch.

Stellen Sie sich ein undichtes Boot vor

Der Physiker repariert ein undichtes Boot und schwimmt zufrieden, bis die Welt das nächste Leck entdeckt. Die Mathematikerin ist stolz auf ein glattes, sorgfältig gefertigtes Gefäß, in dem sie die Position jedes Holz- und Wassermolekülbretts kennt - es wird keine Undichtigkeiten geben. Der "ideale" Mathematiker würde keine konkreten Beispiele benötigen, um abstrakte Konzepte zu verstehen. Der ideale Physiker braucht empirische Daten und Experimente!

Wenn das Boot eines Mathematikers undicht ist

Noch -

Sowohl bei den Axiomen der Mathematik als auch bei der Beweislast gibt es Anlass zur Sorge.

Bei der Wahl abstrakter Axiome und einer akzeptablen Beweislast scheint ein Mathematiker den Ansatz eines Physikers zu verfolgen. Sie schafft einige Axiome und eine Beweislast und sieht, wie es läuft. Wenn sie in Widerspruch gerät, war entweder die Beweislast zu gering oder die Axiome sind falsch.

Im 19. Jahrhundert geschah dies. Mathematiker stellten fest, dass ihre gegenwärtigen Axiome und Beweislast stellenweise zu Widersprüchen führten. So erhöhten sie ihre Strenge sowohl in Bezug auf die Grundlagen der Mathematik als auch in Bezug auf die geforderte Beweislast.

Sobald die Beweislast und die Axiome in der Mathematik akzeptiert sind, unterscheidet sie sich wesentlich von der Physik, die ihre Modelle viel lockerer verändert. Die Wahl der Axiome und die erforderliche Beweislast sind jedoch wissenschaftlicher als man denkt. Mathematiker haben diese in der Vergangenheit angepasst, um Widersprüche zu vermeiden, genauso wie Wissenschaftler Theorien an neue empirische Daten anpassen.

Und wenn mathematisches Wissen weniger sicher ist als wir dachten, bleibt das gesamte Universum auch eher ein Rätsel.

Sie sind vielleicht auch interessiert an…

https://quomodocumque.wordpress.com/2012/09/03/mochizuki-on-abc/

http://theconversation.com/a-purported-new-mathematics-proof-is-impenetrable-now-what-52491

http: // https://mathoverflow.net/questions/106560/philosophy-behind-mochizukis-work-on-the-abc-conjecture/106658#106658

https://claymath.org/events/iut-theory-shinichi-mochizuki