Wie viele Photonen kommen in deine Augen?

Ein kürzlich veröffentlichter Artikel zeigt, dass unser Sehvermögen so lichtempfindlich ist, dass Menschen die Anwesenheit eines einzelnen Photons in ihrer Netzhaut erkennen können. Während Wissenschaftler seit langem versuchen, die untere Grenze der visuellen Empfindlichkeit zu bestimmen, und es allgemein anerkannt ist, dass eine geringe Anzahl von Photonen seit den 40er Jahren für die Detektion ausreicht, ermöglichen uns neue Fortschritte in der Quantenoptik schließlich, das Licht zu manipulieren Einzelphotonengenauigkeit, und es ist das erste Mal, dass in einem psychologischen Experiment direkte Beweise für die Empfindlichkeit einzelner Photonen nachgewiesen werden.

Obwohl ich über diese Forschung sehr aufgeregt bin, fiel es mir schwer, Studenten dazu zu bringen, sich darüber zu freuen. Dies hat wahrscheinlich damit zu tun, dass wir sehr selten über Licht in Form von Photonen sprechen. Wir sind mit psychologischen Begriffen wie „Helligkeit“ sehr vertraut, aber es ist alles andere als intuitiv, die Erfahrung mit der physischen Zusammensetzung des Lichts, insbesondere auf der Ebene der fundamentalen Teilchen, in Beziehung zu setzen. Ich habe daher einige Baseball-Park-Berechnungen durchgeführt, um ein Gefühl für die Anzahl der in der Umgebung verfügbaren Photonen zu bekommen. Dabei habe ich Zahlen verwendet, die nachgeschlagen werden können, ohne Fachzeitschriften zu konsultieren. Zusammenfassend zeigen diese Berechnungen, dass während moderne Lichtquellen eine astronomisch große Anzahl von Photonen erzeugen, sehr dunkle Objekte, wie Sterne am Nachthimmel, überraschend wenige Photonen in unsere Augen projizieren. Die Tatsache, dass wir sehr dunkle Sterne sehen können, legt nahe, dass das menschliche Sehen empfindlich genug sein muss, um eine kleine Anzahl von Photonen zu erkennen.

Im Folgenden werde ich die einzelnen Schritte in eigenständiger Weise erläutern. Einzelheiten entnehmen Sie bitte dem hervorragenden Lehrbuch von Rodieck [2]. Es ist wichtig zu beachten, dass das Wort „Helligkeit“, das wir in unserem täglichen Gespräch verwenden, nicht sehr präzise ist. Es entspricht keiner einzigen physischen oder psychischen Größe. Stattdessen kann es sich je nach Kontext auf verschiedene Konzepte beziehen. Dieser Artikel dient auch als Zusammenfassung einiger technischer Begriffe, die für die Quantifizierung von „Helligkeit“ nützlich sind.

Photonen, die von einer Glühbirne in den Raum abgegeben werden (Watt)

Jede Lichtquelle emittiert Photonen verschiedener Wellenlängen. Um die Anzahl der Photonen abzuschätzen, ist es wichtig, die Verteilung zu kennen. Die spektrale Leistungsverteilung einer Glühbirne kann durch Schwarzkörperstrahlung approximiert werden, die nach dem Planckschen Gesetz beschrieben wird:

Die Formel enthält drei Konstanten: h ist die Plancksche Konstante (6,62 * 10 ^ -34 J * s), c ist die Lichtgeschwindigkeit (299792458 m / s) und k ist die Boltzmannsche Konstante (1,3 * 10 ^ -23 J) / K). Wenn Sie die Temperatur T des Filaments auf 2800 K einstellen (ein typischer Wert für eine Haushaltsglühbirne mit warmweißem Licht), ist die Leistungsverteilung in Abbildung 1 dargestellt. Beachten Sie, dass die Wellenlänge (λ) der Photonen in der Formel in der Einheit angegeben ist von Metern, aber ich habe sie in Nanometer (nm) in Abbildung 1 umgewandelt.

Abbildung 1: Die spektrale Leistungsverteilung einer 2800K-Glühbirne. Der schattierte Bereich ist das sichtbare Spektrum.

Nehmen wir zum Beispiel ein grünes Photon (Wellenlänge = 555 nm), so zeigt die Abbildung, daß für jeden Kubikmeter des Filaments jede Sekunde etwa ein Drittel einer Billion (3,8 · 10¹) Joule (J) Energie erzeugt wird. Mit anderen Worten 3,8 * 10¹ Watt (W). Die Abbildung zeigt auch, dass der größte Teil der von der Glühbirne erzeugten Energie (~ 90%) außerhalb des für das menschliche Auge sichtbaren Bereichs liegt (390–700 nm, angezeigt durch den schattierten Bereich in der Abbildung).

Abbildung 2: Die in Abbildung 1 gezeigte Kurve ist normalisiert, sodass die Fläche der Kurve 60 W beträgt.

Diese Zahl ist für unsere Zwecke nicht sehr nützlich, da ich die Lautstärke des Schwarzkörperstrahlers nicht kenne, die dem Filament entspricht. Da ich jedoch weiß, dass die typische Leistung einer 2800K-Glühbirne 60 W beträgt, kann ich die Zahl so normalisieren, dass sich die Fläche auf 60 W summiert. Die neue Verteilung ist in Abbildung 2 dargestellt. Jetzt wissen wir, dass eine 60W, 2800K Glühbirne 0,0085W (oder 0,0085 J / s) grüne Photonen erzeugt.

Abbildung 3: Der Strahlungsfluss (die Anzahl der pro Sekunde erzeugten Photonen) einer 2800K-Glühbirne mit 60 W wird durch den schattierten Bereich angezeigt. Es wird nur das sichtbare Spektrum dargestellt. Die gestrichelte Kurve ist die Funktion der Lichtausbeute.

Da die Energie eines Photons der Wellenlänge λ h · c / λ ist (Einheit ist Joule, wenn λ in Metern ist), ist es einfach, den Strahlungsfluss (die Anzahl der pro Sekunde erzeugten Photonen) der Glühbirne zu berechnen. Die Zahlen sind in Abbildung 3 aufgetragen. Wenn wir die Fläche unter der Kurve addieren, schließen wir, dass die Glühbirne im sichtbaren Spektrum jede Sekunde 8,2 * 10¹⁸ Photonen emittiert.

Von der Physik zur Psychophysik (Lumen und Candela)

Leistung ist eine Einheit zum Messen der Leistung (dh der Energiemenge, mit der das Gerät pro Sekunde mit Strom versorgt wird). Es ist keine sehr gute Messung zur Quantifizierung von Lichtquellen, da sie davon abhängt, wie die Photonen erzeugt werden. Schwarzkörperstrahlung ist keine sehr effiziente Methode zur Beleuchtung des Raums, da der größte Teil der Energie (~ 90%) in Wärme umgewandelt wird. Es gibt viel effizientere Möglichkeiten, um Licht im sichtbaren Spektrum zu erzeugen. Zum Beispiel arbeiten LED-Lampen, die im letzten Jahrzehnt üblich geworden sind, mit viel geringeren Leistungen (typischerweise nur wenige Watt), können jedoch so hell sein wie Glühlampen.

Was wir brauchen, ist eine Größe, um zu beschreiben, wie hell die Lampe ist, und zwar in einer Weise, die nicht davon abhängt, wie elektrische Energie in Photonen umgewandelt wird. Um dieses Ziel zu erreichen, geben die meisten Hersteller die Helligkeit von Lampen in der Einheit Lumen an. Das Prinzip ist dem oben diskutierten sehr ähnlich, mit der Ausnahme, dass die erzeugte Energie in Lumen nicht als in der Physik definierte Größen ausgedrückt wird, sondern als Größen, die sich auf psychologische Maße beziehen. Es ist eine nützlichere Einheit, um zu entscheiden, welche Glühbirne gekauft werden soll, da es bei unserem Helligkeitsempfinden nicht nur um die Energie geht, die von den Photonen getragen wird. Photorezeptoren in der Netzhaut sind nicht wie Dampfmaschinen. Ihre Aktivierung ist nicht so, als würde man eine Tasse Wasser erhitzen oder ein Ei kochen. Stattdessen muss Energie von Photonen bestimmter Wellenlängen getragen werden, um effektiv zu sein. Zum Beispiel, obwohl ein blaues Photon mehr Energie als ein grünes Photon trägt, sind wir empfindlicher für das weniger energiereiche grüne Photon. Die Empfindlichkeit wird in psychologischen Experimenten als Funktion der Lichtausbeute (gestrichelte Kurve in Abbildung 3) gemessen (die Zahlen stehen hier zum Download zur Verfügung). Aus der Kurve sehen wir, dass die große Anzahl von Photonen ganz rechts in Abbildung 3 nicht viel zu unserer Wahrnehmung von Helligkeit beiträgt, da die Photorezeptoren für sie unempfindlich sind. Energie in diesem Bereich des Spektrums wird „verschwendet“.

Abbildung 4: Der Lichtstrom unserer idealisierten Glühbirne.

Um die Helligkeit einer Lichtquelle auszudrücken, ist es daher sinnvoller, den in Abbildung 3 gezeigten Strahlungsfluss nach der Funktion der Lichtausbeute zu gewichten. Der gewichtete Strahlungsfluss ist bekannt als Lichtstrom, gemessen in Lumen. Bei der Spitze der Lichtausbeute (555 nm) beträgt 1 Lumen 4,09 · 10¹ & sup5; Photonen / s. Für andere Wellenlängen wird die Berechnung mit der Lichtausbeute gewichtet (Abbildung 4). Summiert man den Lichtstrom aller Wellenlängen im sichtbaren Spektrum, so erhält man für unsere 60W, 2800K Glühbirne 691 Lumen.

Eine andere Größe, die manchmal zur Angabe der Helligkeit von Glühbirnen verwendet wird, ist Candela (cd), die der Helligkeit typischer Kerzen entspricht, die in alten Tagen verwendet wurden. Ich habe dieses Gerät noch nicht in Konsumgütern gesehen, aber meine Eltern sagten, sie hätten Glühbirnen bei der Candela gekauft. Wir teilen die 691 Lumen durch 4π und erhalten 54,2 cd. Unsere Glühbirne ist also anscheinend 54-mal heller als eine „Standardkerze“. 4π ist in der Einheit Steradiant (sr) und es ist der „Raumwinkel“ einer Kugel. Indem wir die 691 Lumen durch 4π sr dividieren, nehmen wir an, dass von der Glühbirne in alle Raumrichtungen gleich viele Photonen emittiert werden. Im Gegensatz zu Glühbirnen sind einige Lichtquellen viel konzentrierter und werfen starke Lichtstrahlen in bestimmte Richtungen. Die Candela ist ein geeigneteres Maß für solche Lichtquellen. Es soll ein Maß für die Lichtstärke sein.

Zusammenfassung: Durch Nachschlagen von zwei Informationen (Farbtemperatur und Leistung), die für Glühbirnen für Verbraucher verfügbar sind, ist es möglich, den Strahlungsfluss abzuschätzen - die Anzahl der Photonen, die pro Sekunde in die Umgebung emittiert werden . Die meisten Hersteller geben ihre Produkte auch in Lumen an, was ein Maß für den Lichtstrom ist. Es ist auch möglich, den Strahlungsfluss aus Lumen abzuschätzen.

Die Helligkeit eines Computermonitors (Luminanz)

Unsere theoretische Glühbirne erzeugt jede Sekunde 8,2 * 10¹⁸ Photonen im sichtbaren Spektrum. Diese Photonen werden im Raum verteilt und dort herumgeworfen oder absorbiert. Nur ein Bruchteil von ihnen tritt ins Auge. Um diese Zahl abzuschätzen, liefern der Strahlungsfluss und der Lichtfluss, mit denen wir zuvor gearbeitet haben, nicht genügend Informationen über die geometrische Beziehung zwischen der Lichtquelle und dem Auge. Eine andere Art der Messung ist erforderlich.

Die flache Oberfläche des Computermonitors weist eine einfache Geometrie auf und ist somit der perfekte Ausgangspunkt für diese Art der Berechnung. Die Helligkeit von Computermonitoren wird häufig in Luminanz gemessen, die die Einheit Lumen / m² / sr hat. Die Einheit wird auch als cd / m² geschrieben, da (wie wir bereits gesehen haben) eine Candela (cd) Lumen / sr ist. Für Desktop-Computer sind 150 cd / m² ein typischer Wert. Lassen Sie uns sehen, ob wir die Anzahl der Photonen aus dieser Information herausfinden können.

Das Vorgehen ist dem, was wir bisher mit der Schwarzkörperstrahlung gemacht haben, sehr ähnlich. Wir beginnen mit der spektralen Strahlung des Monitors, die die Leistung der Photonenproduktion bei jeder Wellenlänge, für jeden Quadratmeter des Monitors und für jeden Steradiant in der Richtung angibt, die zum Auge zeigt. Das Konzept ist der in Abbildung 2 dargestellten Potenzfunktion sehr ähnlich, mit der Ausnahme, dass die Skala in einer Einheit ausgedrückt wird, die in Bezug auf die Größe des Monitors und den auf das Auge gerichteten Raumwinkel normalisiert ist.

Abbildung 5: Die spektrale Strahlung eines idealisierten Computermonitors mit einem einheitlichen Weißmuster. Die gestrichelte Kurve ist die Funktion der Lichtausbeute.

Abbildung 5 zeigt die spektrale Strahldichtefunktion eines hypothetischen Monitors, die für einen typischen 150-cd / m²-LCD-Monitor realistisch genug sein sollte. Ich habe die Summe von drei Gaußschen Verteilungen verwendet, um die spektrale Leistungsverteilung von LCD-Monitoren zu approximieren, die auf vielen Websites zu finden ist. Das Knifflige dabei ist, dass diese Art von Zahlen in der Regel in der y-Achse in einem beliebigen Maßstab aufgetragen werden, während für unsere Berechnung ein physikalischer Maßstab benötigt wird, der der Leuchtdichte des Monitors entspricht. Mit einigen Versuchen und Fehlern habe ich die Kurve so normalisiert, dass sie einen Spitzenwert von 0,0091 W / m² / sr aufweist. Überprüfen wir, ob diese Verteilung eine Leuchtdichte von 150 cd / m² erzeugt.

Abbildung 6: Wie Abbildung 5, mit der Ausnahme, dass es neu skaliert wird, um die Strahlungsdichte in Photonen / s / m ^ 2 / sr anzuzeigen.

Nach wie vor drücken wir die Strahlung zunächst in Form der Anzahl der erzeugten Photonen aus (Abbildung 6). Dann gewichten wir die Strahlung mit der Lichtausbeute-Funktion und wandeln dann Photonen in Lumen um (wie in Abbildung 4). Das Ergebnis ist in Abbildung 7 dargestellt - die Leuchtdichte des Monitors als Funktion der Wellenlänge.

Abbildung 7: Die Leuchtdichteverteilung unseres hypothetischen Monitors mit 150 cd / m².

Wenn wir die Fläche unter der in Abbildung 7 gezeigten Kurve berechnen, kommen wir zu dem Schluss, dass die Gesamtleuchtdichte tatsächlich ~ 150 cd / m² beträgt.

Photonen im Auge

Die Berechnung der Fläche unter der Funktion der spektralen Strahldichte in Abbildung 6 ergibt die Gesamtstrahldichte des Monitors: 1,2 * 10¹⁸ Photonen / s / m² / sr. Wir sind jetzt bereit, das Auge anzugehen. Stellen Sie sich vor, Sie beginnen mit einem einzelnen Buchstaben in einer Schriftgröße von 12pt auf dem Monitor bei einem Leseabstand von 40 cm. Was ist der Strahlungsfluss oder die Anzahl der Photonen, die in das Auge eindringen? Da die Gesamtstrahlung die Einheit Photonen / s / m² / sr hat, benötigen wir zwei zusätzliche Werte: die physikalische Größe des Buchstabens auf dem Monitor (in m ^ 2) und den Raumwinkel der Strahlen, die in das Auge eintreten. Der erste Wert ist einfach: Die Abmessung eines Buchstabens in 12-Punkt-Schrift beträgt ungefähr 4,2 mm mal 4,2 mm. Die Fläche beträgt daher 0,00001764 m².

Um den Raumwinkel zu berechnen, benötigen wir die Größe der Pupille, die sich mit der Luminanz ändert. Der Durchmesser (in mm) der Pupille [1] beträgt ungefähr 4,9–3 * tanh (0,4 logL), wobei L die Leuchtdichte in cd / m² ist. Da wir auf einen 150 cd / m² Monitor starren, beträgt der Durchmesser der Pupille 2,0 mm. Die Photonen, die von der Mitte des Buchstabens zur Pupille wandern, bilden einen Kegel mit einer Höhe von 40 cm und einem Basisdurchmesser von 2,0 mm. Mit ein paar Berechnungen beträgt der Raumwinkel dieses Kegels 0,00002 sr.

Schließlich multiplizieren wir die Fläche des Buchstabens und den Raumwinkel mit der Gesamtstrahlung und erhalten den Strahlungsfluss von 4,27 * 10⁸ Photonen / s. Ungefähr eine halbe Milliarde Photonen erreichen jede Sekunde die Hornhaut des Auges, von denen ungefähr die Hälfte vom Augenmedium absorbiert wird. Der Strahlungsfluss, der die Netzhaut erreicht, beträgt daher ~ 2 * 10⁸ Photonen / s.

Gegenstände im Raum

Ein Luminanzmesser

Die Luminanz von Objekten im Raum kann mit einem einfachen Handgerät, dem Luminanzmesser, gemessen werden. Es funktioniert wie eine Kamera. Sie richten das Objektiv auf eine Position, stellen den Fokus ein und drücken eine Taste. Das Gerät gibt Ihnen einen Luminanzwert an einer winzigen Stelle, die den Fokus umgibt. Ich sitze in einem gut beleuchteten Büro. Die Leuchtdichte des Bildschirms meines iPhones, eines Blattes Papier und der Oberfläche des Schreibtisches beträgt ca. 60 ~ 80 cd / m². Die Anzahl der Photonen, die das Auge erreichen, ist daher ungefähr halb so hoch wie bei unserem 150-cd / m²-Monitor. Dunkle Ecken im Raum (noch gut sichtbar) liegen bei ca. 5–20 cd / m². Selbst in dunklen Ecken projiziert eine kleine Oberfläche noch jede Sekunde etwa eine halbe Million Photonen auf das Auge.

Draußen regnet es, daher ist das hellste Objekt, das ich messen kann, die Lampe mit ~ 2.600 cd / m². Es ist ziemlich hell im Vergleich zu einem klaren blauen Himmel, der ~ 1.000 cd / m² beträgt [2].

Photonen von den Sternen

Die obigen Berechnungen deuten darauf hin, dass Photonen in unserer industrialisierten Welt im Überfluss vorhanden sind. Um ein Gefühl für die unteren Grenzen unseres visuellen Systems zu bekommen, ist es lehrreich, das Sehen in natürlich dunklen Umgebungen zu betrachten, wie zum Beispiel bei Sternbeobachtungen. Wie eine Gleichung in Rodieck (1998) angibt, beträgt die Gesamtbestrahlungsstärke eines Sterns über der Erdatmosphäre 1,15 * 10¹ * 10 ^ (- 0,4 M) Photonen / s / m², wobei M die Größe des Sterns ist. Polaris, einer der helleren Sterne am Nachthimmel, hat eine Größe von 1,98. Die Bestrahlungsstärke von Polaris beträgt daher 18565 Photonen / s / mm². Da sich jedoch nur 22% der Photonen im sichtbaren Bereich befinden, beträgt die für uns relevante Bestrahlungsstärke nur 4084 Photonen / s / mm². Nach Absorption und Streuung in der Atmosphäre (~ 30%) verbleiben 2859 Photonen / s / mm². Bei Anwendung der Pupillengröße im Dunkeln (~ 40 mm²) beträgt der Strahlungsfluss der Photonen im Auge ~ 10 ~ Photonen / s, von denen etwa 57% vom Augenmedium absorbiert werden, so dass der Strahlungsfluss auf die Netzhaut beträgt ungefähr nur 50.000 Photonen / s.

Wenn die Netzhaut wie ein Eimer Photonen sammelt, kann sie so viele Photonen wie nötig akkumulieren und sollte daher in der Lage sein, sehr sehr schwache Sterne zu erkennen. Immerhin ist es, wie lange die Belichtung Astrofotografie funktioniert. Die Physiologie des Auges und der Netzhaut legt jedoch eine "Verschlusszeit" von 0,1 Sekunden für den Betrieb der Photorezeptoren fest. Innerhalb dieser Verschlusszeit hat die Netzhaut nur etwa 5.000 Photonen zur Bearbeitung.

Was passiert, wenn wir einen sehr dunklen Stern betrachten? Ein Stern der Größe 6,5 ist für das menschliche Auge normalerweise kaum sichtbar. Nach der gleichen Berechnung stehen innerhalb der Verschlusszeit nur ~ 90 Photonen zur Anregung der Photorezeptoren zur Verfügung. Nach Rodieck (1998, S. 141) wurde unter sehr sorgfältigen Bedingungen, bei denen das diffuse Licht des Nachthimmels eliminiert werden sollte, der schwächste sichtbare Stern mit einer Größe von 8,5 bestimmt, wodurch die Photorezeptoren nur ~ 14 Photonen erfassen können . Diese Beobachtung allein legt nahe, dass Photorezeptoren wahrscheinlich empfindlich genug sind, um eine Handvoll Photonen zu detektieren.

Verschiedene Sinne von "Helligkeit"

In diesem Artikel habe ich den volkstümlichen Begriff „Helligkeit“ in einigen verschiedenen Sinnen verwendet. Sehen wir uns Folgendes an:

  • Glühbirnen werden oft nach ihrem Stromverbrauch in Watt angegeben. Dies ist kein Maß für die Helligkeit, da mit derselben Einheit auch Motoren, Kühlschränke usw. beschrieben werden.
  • Der Strahlungsfluss (gemessen in Photonen / s) gibt die Geschwindigkeit an, mit der Photonen in den Raum gelangen. Es gibt keine Auskunft über die Geschwindigkeit, mit der Photonen in das Auge gelangen, da dies von der Geometrie zwischen Auge und Lichtquelle abhängt (Wenn ein größerer Raum zum Beispiel von derselben Lampe beleuchtet wird, fühlt er sich dunkler an). Es ist daher nicht wirklich ein Maß für die Helligkeit.
  • Verbraucherprodukte wie Lampen und Videoprojektoren werden sehr häufig in Lumen angegeben, einer Lichtstromeinheit. Es ähnelt dem Strahlungsfluss, wird jedoch durch die Lichtausbeute gewichtet. Es ist der menschlichen Wahrnehmung der Helligkeit näher als der Strahlungsfluss, aber es ist auch nicht wirklich ein Maß für die Helligkeit (aus dem gleichen Grund wie oben). Für Konsumgüter ist es jedoch leicht zu verstehen und wird daher häufig verwendet.
  • Candela, ein Maß für die Lichtstärke, ist Lumen sehr ähnlich, mit der Ausnahme, dass es für gerichtete Lichtquellen, wie Suchscheinwerfer, einfacher zu verwenden ist.
  • cd / m² ist ein Maß für die Leuchtdichte. Sie gibt die Geschwindigkeit an, mit der Photonen pro Flächeneinheit der Lichtquelle pro Raumwinkel in einer bestimmten Richtung erzeugt werden (gewichtet nach der Empfindlichkeit der menschlichen Wellenlänge). Es ist eine lokale Maßnahme. Die komplexe Einheit wurde so konzipiert, dass die Rate der Photonen berechnet werden kann, die auf eine andere Oberfläche (z. B. das Auge) gelangen. Es kommt unserem intuitiven Gefühl von „Helligkeit“ am nächsten.
  • Ohne Gewichtung durch die Lichtausbeute wird die Leuchtdichte zum Leuchten.
  • Luminanz und Ausstrahlung sind für die Beschreibung der Helligkeit von Sternen wenig geeignet, da sie zu weit entfernt sind und im Wesentlichen wie Punktlichter wirken. Der Raumwinkel, der für die Berechnung der Leuchtdichte und der Strahldichte benötigt wird, ist nicht aussagekräftig. Die Bestrahlungsstärke in der Einheit Photonen / s / m² ist für diesen Fall besser geeignet, da sie die Rate angibt, mit der Photonen auf eine Oberfläche (z. B. die Netzhaut) treffen.

[1] Es gibt verschiedene Näherungswerte für die Pupillengröße. Ich habe willkürlich eine von Watson & Yellot (2012) ausgewählt. Eine einheitliche Formel für die lichtangepasste Pupillengröße. Journal of Vision 12 (10): 12, 1–16.

[2] Rodieck (1998) Die ersten Schritte beim Sehen. Sinauer Associates, Inc. Kapitel 6.