QC - Quantum Computing mit einheitlichen Operatoren, Interferenz und Verschränkung steuern

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Toll. Wir haben gerade Teil 2 auf Qubit (Quantenbit - der Kernbaustein für das Quantencomputing) abgeschlossen. Wie können wir das kontrollieren? Im Gegensatz zum klassischen Rechnen wenden wir keine logischen Operationen oder allgemeinen Arithmetiken auf Qubits an. Beim Quantencomputing gibt es keine "while-Anweisung" oder "branching-Anweisung". Stattdessen entwickeln wir einheitliche Operatoren, um Qubits mit dem Prinzip der Interferenz in der Quantenmechanik zu manipulieren. Sound schick, aber eigentlich sehr unkompliziert. Wir werden uns mit dem Konzept der einheitlichen Operatoren befassen. Als Randnotiz werden wir die Beziehung zur Schrödinger-Gleichung untersuchen, damit wir kein Konzept gegen die Natur entwerfen. Zuletzt untersuchen wir die Verschränkung, ein mystisches Quantenphänomen.

Quantentore

In klassischen Computern wenden wir grundlegende logische Operatoren (NOT, NAND, XOR, AND, OR) auf Bits an, um komplexe Operationen aufzubauen. Das Folgende ist beispielsweise ein Einzelbitaddierer mit einem Übertrag.

Quantencomputer haben völlig unterschiedliche Grundoperatoren, sogenannte Quantentore. Wir kompilieren ein vorhandenes C ++ - Programm nicht neu, um es auf einem Quantencomputer auszuführen. Beide haben unterschiedliche Operatoren, und für die Nutzung von Quantencomputern sind unterschiedliche Algorithmen erforderlich. Beim Quantencomputer geht es darum, Qubits zu manipulieren, zu verwickeln und zu messen. Kehren wir zur Bloch-Sphäre zurück. Konzeptionell manipulieren Quantenrechenoperationen operations und θ der Überlagerung, um Punkte entlang der Oberfläche der Einheitskugel zu bewegen.

Mathematisch gesehen wird die Überlagerung mit einem linearen Operator U in Form einer Matrix manipuliert.

Für ein einzelnes Qubit ist der Operator einfach eine 2 × 2-Matrix.

Schrödinger-Gleichung (optional)

Natur scheint naiv einfach! Die Mathematik ist nur lineare Algebra, die wir in der High School lernen. Zwischen den Messungen werden Zustände durch lineare Operatoren mithilfe der Matrixmultiplikation manipuliert. Gemessen kollabiert die Überlagerung. Ironischerweise ist die Linearität eine große Enttäuschung für die Science-Fiction-Fans. Dies ist eine allgemeine Eigenschaft der Quantendynamik. Ansonsten ist Zeitreise oder Reisen schneller als Licht möglich. Wenn wir mit diesem linearen Operator beginnen (genauer gesagt mit einem einheitlichen Operator), können wir die Schrödinger-Gleichung herleiten, einen Eckpfeiler der Quantenmechanik, um zu beschreiben, wie sich Zustände in der Quantenmechanik entwickeln. Aus der entgegengesetzten Perspektive schließt die Schrödinger-Gleichung die Linearität der Natur.

Quelle

Hier können wir die Schrödinger-Gleichung als umschreiben

wo H ist ein Hermitian. Es zeigt, wie sich Zustände in der Natur linear entwickeln.

Die Gleichung ist linear, d. H. Wenn sowohl ψ1 als auch ψ2 gültige Lösungen für die Schrödinger-Gleichung sind,

seine lineare Kombination ist die allgemeine Lösung der Gleichung.

Wenn | 0⟩ und | 1⟩ mögliche Zustände eines Systems sind, ist seine Linearkombination sein allgemeiner Zustand - das ist das Prinzip der Überlagerung beim Quantencomputing.

Einheitlich

Unsere physikalische Welt erlaubt nicht alle möglichen linearen Operatoren. Der Bediener muss einheitlich sein und die folgenden Anforderungen erfüllen.

wobei U † das transponierte, komplexe Konjugat von U ist. Zum Beispiel:

Mathematisch gesehen behält der einheitliche Operator Normen bei. Dies ist eine wunderbare Eigenschaft, um die Gesamtwahrscheinlichkeit nach der Zustandsumwandlung gleich 1 zu halten und die Überlagerung auf der Oberfläche der Einheitskugel beizubehalten.

Wenn wir uns die Lösung für die Schrödinger-Gleichung unten ansehen, folgt die Natur der gleichen Einheitsregel. H ist ein Hermitianer (das transponierte komplexe Konjugat eines Hermitianers entspricht sich selbst). Das Multiplizieren des Operators mit seinem transponierten komplexen Konjugat entspricht der Identitätsmatrix.

Es folgt ein Beispiel für H, bei dem ein gleichförmiges Magnetfeld E & sub0; in z-Richtung vorliegt.

Die Anwendung der Einheitsoperation auf | ψ⟩ führt zu einer Drehung um die z-Achse.

Aber was ist die wahre Bedeutung von unitär in der realen Welt? Dies bedeutet, dass Operationen reversibel sind. Für jede mögliche Operation gibt es eine andere, die die Aktion rückgängig machen kann. Genau wie beim Ansehen eines Films können Sie ihn vorwärts abspielen, und die Natur erlaubt seinem Gegenstück U †, das Video rückwärts abzuspielen. In der Tat werden Sie möglicherweise nicht bemerken, ob Sie das Video vorwärts oder rückwärts abspielen. Fast alle physikalischen Gesetze sind zeitumkehrbar. Zu den wenigen Ausnahmen zählen die Messung in der Quantendynamik und der zweite Hauptsatz der Thermodynamik. Dies ist beim Entwerfen eines Quantenalgorithmus sehr wichtig. Die Exklusiv-ODER-Verknüpfung (XOR) in einem klassischen Computer ist nicht umkehrbar. Informationen gehen verloren. Bei einer Ausgabe von 1 können wir nicht unterscheiden, ob die ursprüngliche Eingabe (0, 1) oder (1, 0) ist.

Im Quantencomputer werden Operatoren als Quantentore bezeichnet. Wenn wir ein Quantentor entwerfen, stellen wir sicher, dass es einheitlich ist, d. H. Es wird ein anderes Quantentor geben, das den Zustand wieder in seinen ursprünglichen Zustand zurückversetzen kann. Das ist wichtig da

Wenn ein Operator einheitlich ist, kann er in einem Quantencomputer implementiert werden.

Sobald die Einheit bewiesen ist, sollten die Ingenieure zumindest theoretisch keine Probleme damit haben, sie zu implementieren. Beispielsweise verwenden IBM Q-Computer, die aus supraleitenden Schaltkreisen bestehen, Mikrowellenimpulse unterschiedlicher Frequenz und Dauer, um Qubits entlang der Oberfläche der Bloch-Kugel zu steuern.

Um eine einheitliche Darstellung zu erzielen, geben wir manchmal einen Teil der Eingabe aus, um diese Anforderung zu erfüllen, wie die folgende, auch wenn sie redundant aussieht.

Sehen wir uns eines der gebräuchlichsten Quantentore an, das Hadamard-Tor, dessen linearer Operator als folgende Matrix definiert ist.

oder in der Dirac-Notation

Wenn wir den Operator auf einen Up- oder Down-Spin-Zustand anwenden, ändern wir die Überlagerungen in:

Wenn es gemessen wird, haben beide die gleiche Chance, hoch oder runter zu drehen. Wenn wir das Tor erneut anwenden, kehrt es in den ursprünglichen Zustand zurück.

Quelle

das transponierte Konjugat des Hadamard ist das Hadamard-Tor selbst.

Wenn wir U U † anwenden, wird die ursprüngliche Eingabe wiederhergestellt.

Daher ist das Hadamard-Tor einheitlich.

Quantencomputing basiert auf Interferenz und Verschränkung. Obwohl wir das Quantencomputing mathematisch verstehen können, ohne diese Phänomene zu verstehen, wollen wir es schnell demonstrieren.

Interferenz, Störung

Wellen stören sich konstruktiv oder destruktiv. Beispielsweise kann die Ausgabe in Abhängigkeit von der relativen Phase der Eingangswellen vergrößert oder abgeflacht werden.

Welche Rolle spielt die Interferenz beim Quantencomputing? Lassen Sie uns einige Experimente durchführen.

Mach Zehnder Interferometer (Quelle)

Im ersten Experiment bereiten wir alle einfallenden Photonen auf einen Polarisationszustand | 0⟩ vor. Dieser Strom polarisierter Photonen wird durch die Position des Strahlteilers B bei 45º gleichmäßig aufgeteilt, d. H. Er wird den Strahl in zwei orthogonal polarisierte Lichter aufgeteilt und tritt auf getrennten Wegen aus. Dann verwenden wir Spiegel, um die Photonen auf zwei separate Detektoren zu reflektieren und die Intensität zu messen. Aus Sicht der klassischen Mechanik teilen sich Photonen in zwei getrennte Pfade und treffen gleichmäßig auf die Detektoren.

Im zweiten Experiment oben haben wir einen weiteren Strahlteiler vor die Detektoren gestellt. Die Strahlteiler arbeiten intuitiv unabhängig voneinander und teilen einen Lichtstrom in zwei Hälften. Beide Detektoren sollten die Hälfte der Lichtstrahlen erfassen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon den Detektor D₀ über den 1-Pfad in Rot erreicht, ist:

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass ein Photon D₀ erreicht, beträgt 1/2 von entweder 1-Pfad oder 0-Pfad. Beide Detektoren detektieren also die Hälfte der Photonen.

Das stimmt aber nicht mit dem experimentellen Ergebnis überein! Nur D₀ erkennt Licht. Modellieren wir den Zustandsübergang für einen Strahlteiler mit einem Hadamard-Gate. Für das erste Experiment ist also der Photonenzustand nach dem Teiler

Wenn es gemessen wird, beträgt die Hälfte von ihnen | 0⟩ und die Hälfte von ihnen | 1⟩. Die Lichtstrahlen werden gleichmäßig auf zwei verschiedene Pfade aufgeteilt. Unser Hadamard-Tor wird also mit der klassischen Berechnung übereinstimmen. Aber mal sehen, was im zweiten Experiment passiert ist. Wenn wir, wie oben gezeigt, alle Eingangsphotonen auf | 0⟩ vorbereiten und an zwei Hadamard-Gates übergeben, sind alle Photonen wieder | 0⟩. Wenn also gemessen wird, erkennt nur D₀ den Lichtstrahl. Keiner wird D & sub1; erreichen, solange vor beiden Detektoren keine Messung durchgeführt wird. Experimente bestätigen, dass die Quantenberechnung korrekt ist, nicht die klassische Berechnung. Mal sehen, wie Interferenzen hier im zweiten Hadamard-Tor eine Rolle spielen.

Wie unten gezeigt, interferieren Komponenten derselben Berechnungsgrundlage konstruktiv oder destruktiv miteinander, um das korrekte experimentelle Ergebnis zu erzielen.

Wir können den Eingangsphotonenstrahl auf | 1⟩ vorbereiten und die Berechnung erneut durchführen. Der Zustand nach dem ersten Teiler unterscheidet sich vom ursprünglichen um eine Phase von π. Wenn wir also jetzt messen, werden beide Experimente die gleichen Messungen durchführen.

Wenn jedoch das Hadamard-Tor erneut angewendet wird, wird | 0⟩ und | 1⟩ erzeugt. Interferenz erzeugt komplexe Möglichkeiten.

Lassen Sie mich noch ein lustiges Experiment durchführen, das einen sehr wichtigen Einfluss auf die Cybersicherheit hat.

Wenn wir nach dem ersten Teiler einen weiteren Detektor Dx einsetzen, zeigt das Experiment, dass beide Detektoren jetzt die Hälfte der Photonen erfassen. Stimmt das mit der Berechnung in der Quantenmechanik überein? Wenn wir in der folgenden Gleichung nach dem ersten Teiler eine Messung hinzufügen, erzwingen wir einen Kollaps in der Überlagerung. Das Endergebnis ist anders als eins ohne den zusätzlichen Detektor und stimmt mit dem experimentellen Ergebnis überein.

Die Natur sagt uns, dass, wenn Sie wissen, welchen Weg das Photon nimmt, beide Detektoren die Hälfte der Photonen erfassen. Tatsächlich können wir das mit nur einem Detektor auf einem der Pfade erreichen. Wenn vor beiden Detektoren keine Messung durchgeführt wird, landen alle Photonen im Detektor D₀, wenn das Photon auf | 0⟩ vorbereitet ist. Auch hier führt uns die Intuition zu einer falschen Schlussfolgerung, während die Quantengleichungen vertrauenswürdig bleiben.

Dieses Phänomen hat eine entscheidende Bedeutung. Die zusätzliche Messung zerstört die ursprüngliche Störung in unserem Beispiel. Der Zustand eines Systems wird nach einer Messung geändert. Dies ist eine der Hauptmotive für die Quantenkryptographie. Sie können einen Algorithmus so entwerfen, dass Sie, wenn ein Hacker die Nachricht zwischen Ihnen und dem Absender abfängt (misst), ein solches Eindringen erkennen können, unabhängig davon, wie sanft die Messung sein kann. Weil das Muster der Messung anders ist, wenn es abgefangen wird. Das No-Cloning-Theorem in der Quantenmechanik besagt, dass man einen Quantenzustand nicht exakt duplizieren kann. Daher kann der Hacker die ursprüngliche Nachricht auch nicht duplizieren und erneut senden.

Jenseits der Quantensimulation

Als Physiker können Sie das Interferenzverhalten von Quantentoren nutzen, um die gleiche Interferenz in den Atomwelten zu simulieren. Die klassischen Methoden arbeiten mit der Wahrscheinlichkeitstheorie mit Werten größer oder gleich Null. Es setzt Unabhängigkeit voraus, die in Experimenten nicht zutrifft.

Der Quantenmechanismus behauptet, dieses Modell sei falsch und führt ein Modell mit komplexen und negativen Zahlen ein. Anstatt die Wahrscheinlichkeitstheorie zu verwenden, werden Interferenzen verwendet, um das Problem zu modellieren.

Was bringt es für Nicht-Physiker? Die Störung kann wie ein einheitlicher Operator behandelt werden. Es kann leicht in einem Quantencomputer implementiert werden. Mathematisch ist der einheitliche Operator eine Matrix. Mit zunehmender Anzahl von Qubits erhalten wir ein exponentielles Wachstum der Koeffizienten, mit denen wir spielen können. Dieser einheitliche Operator (Störung im Auge des Physikers) ermöglicht es uns, alle diese Koeffizienten in einer einzigen Operation zu manipulieren, was die Tür für massive Datenmanipulationen öffnet.

Verstrickung

Im Allgemeinen glauben Wissenschaftler, dass Quantenalgorithmen ohne Verschränkung keine Überlegenheit gegenüber klassischen Algorithmen zeigen können. Leider verstehen wir die Gründe nicht genau und wissen daher nicht, wie ein Algorithmus angepasst werden kann, um sein volles Potenzial auszuschöpfen. Aus diesem Grund wird bei der Einführung des Quantencomputers häufig von Verschränkung gesprochen, jedoch nicht viel später. Aus diesem Grund werden wir in diesem Abschnitt erklären, was Verstrickung ist. Ich hoffe, Sie sind der Wissenschaftler, der das Geheimnis lüftet.

Betrachten Sie die Überlagerung eines 2-Qubits.

Dabei bedeutet | 10>, dass sich zwei Partikel in einer Abwärts- bzw. Aufwärtsdrehung befinden.

Betrachten Sie den folgenden zusammengesetzten Zustand:

Können wir den zusammengesetzten Zustand wieder in zwei Einzelzustände aufteilen,

Wir können nicht, weil es Folgendes erfordert:

Die Quantenmechanik demonstriert ein nicht intuitives Konzept. In der klassischen Mechanik können wir das gesamte System verstehen, indem wir die einzelnen Unterkomponenten gut verstehen. Aber in der Quantenmechanik,

Wie bereits gezeigt, können wir den zusammengesetzten Zustand modellieren und Messvorhersagen perfekt machen.

Wir können es jedoch nicht als zwei unabhängige Komponenten beschreiben oder verstehen.

Ich stelle mir dieses Szenario als Paar vor, das seit 50 Jahren verheiratet ist. Sie sind sich immer einig, was zu tun ist, aber Sie können die Antworten nicht finden, wenn Sie als separate Personen behandelt werden. Dies ist ein zu vereinfachtes Szenario. Es gibt viele mögliche Verwicklungszustände

und es wird viel schwieriger sein, sie zu beschreiben, wenn die Anzahl der Qubits zunimmt. Bei der Ausführung von Quantenoperationen wissen wir, wie Komponenten korreliert (verwickelt) werden. Vor jeder Messung bleiben die genauen Werte jedoch offen. Die Verschränkung erzeugt Korrelationen, die für einen klassischen Algorithmus weitaus umfangreicher und wahrscheinlich viel schwieriger zu imitieren sind.

Nächster

Jetzt wissen wir, wie man Qubits mit einheitlichen Operationen manipuliert. Aber für diejenigen, die sich für Quantenalgorithmen interessieren, sollten wir zuerst wissen, was die Einschränkung ist. Ansonsten könnten Sie übersehen, welche Dinge beim Quantencomputing schwierig sind. Wenn Sie jedoch zuerst mehr über das Quantentor erfahren möchten, können Sie den zweiten Artikel vor dem ersten lesen.