QC - Kontrollquantencomputer mit einheitlichen Operatoren, Interferenz und Verschränkung

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Groß. Wir haben gerade Teil 2 über Qubit (Quantenbit - der Kernbaustein für das Quantencomputing) abgeschlossen. Wie können wir das kontrollieren? Im Gegensatz zum klassischen Computing wenden wir keine logischen Operationen oder allgemeine Arithmetik auf Qubits an. Im Quantencomputer gibt es keine "while-Anweisung" oder "Verzweigungsanweisung". Stattdessen entwickeln wir einheitliche Operatoren, um Qubits mit dem Prinzip der Interferenz in der Quantenmechanik zu manipulieren. Klingt schick, ist aber eigentlich sehr unkompliziert. Wir werden uns mit dem Konzept der einheitlichen Operatoren befassen. Als Randnotiz werden wir die Beziehung zur Schrödinger-Gleichung untersuchen, damit wir kein Konzept gegen die Natur entwerfen. Zuletzt untersuchen wir die Verschränkung, ein mystisches Quantenphänomen.

Quantentore

In klassischen Computern wenden wir grundlegende logische Operatoren (NOT, NAND, XOR, AND, OR) auf Bits an, um komplexe Operationen aufzubauen. Das Folgende ist beispielsweise ein Einzelbitaddierer mit einem Übertrag.

Quantencomputer haben völlig unterschiedliche Grundoperatoren, die als Quantentore bezeichnet werden. Wir kompilieren kein vorhandenes C ++ - Programm neu, um es auf einem Quantencomputer auszuführen. Beide haben unterschiedliche Operatoren, und Quantencomputer erfordern unterschiedliche Algorithmen, um sie nutzen zu können. Beim Quantencomputing geht es darum, Qubits zu manipulieren, zu verwickeln und zu messen. Kehren wir zur Bloch-Sphäre zurück. Konzeptionell manipulieren Quantenberechnungsoperationen Φ und θ der Überlagerung, um Punkte entlang der Oberfläche der Einheitskugel zu bewegen.

Mathematisch gesehen wird die Überlagerung mit einem linearen Operator U in Form einer Matrix manipuliert.

Für ein einzelnes Qubit ist der Operator einfach eine 2 × 2-Matrix.

Schrödinger-Gleichung (optional)

Die Natur scheint naiv einfach! Die Mathematik ist nur lineare Algebra, die wir in der High School lernen. Zwischen den Messungen werden Zustände durch lineare Operatoren unter Verwendung der Matrixmultiplikation manipuliert. Bei der Messung kollabiert die Überlagerung. Ironischerweise ist die Linearität eine große Enttäuschung für die Science-Fiction-Fans. Dies ist eine allgemeine Eigenschaft der Quantendynamik. Andernfalls ist Zeitreisen oder Reisen schneller als Licht möglich. Wenn wir mit diesem linearen Operator beginnen (genauer gesagt einem einheitlichen Operator), können wir die Schrödinger-Gleichung ableiten, einen Eckpfeiler der Quantenmechanik, um zu beschreiben, wie sich Zustände in der Quantenmechanik entwickeln. Aus der entgegengesetzten Perspektive schließt die Schrödinger-Gleichung die Linearität der Natur.

Quelle

Hier können wir die Schrödinger-Gleichung umschreiben als

wo H ein Hermitianer ist. Es zeigt, wie sich Zustände in der Natur linear entwickeln.

Die Gleichung ist linear, dh wenn sowohl ψ1 als auch ψ2 gültige Lösungen für die Schrödinger-Gleichung sind,

seine lineare Kombination ist die allgemeine Lösung der Gleichung.

Wenn | 0⟩ und | 1⟩ mögliche Zustände eines Systems sind, ist seine lineare Kombination sein allgemeiner Zustand - das ist das Prinzip der Überlagerung beim Quantencomputing.

Einheitlich

Unsere physikalische Welt erlaubt nicht alle möglichen linearen Operatoren. Der Bediener muss einheitlich sein und die folgenden Anforderungen erfüllen.

wobei U † das transponierte, komplexe Konjugat von U ist. Zum Beispiel:

Mathematisch gesehen behält der einheitliche Operator Normen bei. Dies ist eine wunderbare Eigenschaft, um die Gesamtwahrscheinlichkeit nach der Zustandstransformation gleich eins zu halten und die Überlagerung auf der Oberfläche der Einheitskugel beizubehalten.

Wenn wir uns die Lösung für die Schrödinger-Gleichung unten ansehen, folgt die Natur derselben einheitlichen Regel. H ist ein Hermitianer (das transponierte komplexe Konjugat eines Hermitianers entspricht sich selbst). Das Multiplizieren des Operators mit seinem transponierten komplexen Konjugat entspricht der Identitätsmatrix.

Es folgt ein Beispiel für H, bei dem ein gleichmäßiges Magnetfeld E magnetic in z-Richtung vorliegt.

Das Anwenden der Einheitsoperation auf | ψ⟩ führt zu einer Drehung in der z-Achse.

Aber was ist die wahre Bedeutung von einheitlich in der realen Welt? Dies bedeutet, dass Operationen reversibel sind. Für jede mögliche Operation gibt es eine andere, die die Aktion rückgängig machen kann. Genau wie beim Ansehen eines Films können Sie ihn vorwärts abspielen, und die Natur ermöglicht es seinem Gegenstück U †, das Video rückwärts abzuspielen. Möglicherweise bemerken Sie nicht, ob Sie das Video vorwärts oder rückwärts abspielen. Fast alle physikalischen Gesetze sind zeitumkehrbar. Die wenigen Ausnahmen sind die Messung in der Quantendynamik und der zweite Hauptsatz der Thermodynamik. Dies ist beim Entwerfen eines Quantenalgorithmus sehr wichtig. Die exklusive ODER-Verknüpfung (XOR) in einem klassischen Computer ist nicht umkehrbar. Informationen gehen verloren. Bei einer Ausgabe von 1 können wir nicht unterscheiden, ob die ursprüngliche Eingabe (0, 1) oder (1, 0) ist.

Im Quantencomputer nennen wir Operatoren als Quantentore. Wenn wir ein Quantengatter entwerfen, stellen wir sicher, dass es einheitlich ist, dh es wird ein weiteres Quantengatter geben, das den Zustand wieder in seinen ursprünglichen Zustand zurückversetzen kann. Das ist da wichtig

Wenn ein Operator einheitlich ist, kann er in einem Quantencomputer implementiert werden.

Sobald die Einheit bewiesen ist, sollten die Ingenieure zumindest theoretisch keine Probleme haben, sie umzusetzen. Beispielsweise verwenden IBM Q-Computer, die aus supraleitenden Schaltkreisen bestehen, Mikrowellenimpulse unterschiedlicher Frequenz und Dauer, um Qubits entlang der Oberfläche der Bloch-Kugel zu steuern.

Um eine Einheitlichkeit zu erreichen, geben wir manchmal einen Teil der Eingabe aus, um diese Anforderung zu erfüllen, wie die folgende, selbst wenn sie redundant aussieht.

Sehen wir uns eines der häufigsten Quantentore an, das Hadamard-Gatter, das der lineare Operator als folgende Matrix definiert.

oder in der Dirac-Notation

Wenn wir den Operator auf einen Up-Spin- oder einen Down-Spin-Zustand anwenden, ändern wir die Überlagerungen in:

Wenn es gemessen wird, haben beide die gleiche Chance, sich zu drehen oder zu drehen. Wenn wir das Tor erneut anwenden, kehrt es in den ursprünglichen Zustand zurück.

Quelle

Das transponierte Konjugat des Hadamard ist das Hadamard-Tor selbst.

Wenn wir UU † anwenden, wird die ursprüngliche Eingabe wiederhergestellt.

Daher ist das Hadamard-Tor einheitlich.

Quantum Computing basiert auf Interferenz und Verschränkung. Obwohl wir Quantencomputer mathematisch verstehen können, ohne diese Phänomene zu verstehen, wollen wir es schnell demonstrieren.

Interferenz

Wellen stören sich konstruktiv oder destruktiv. Beispielsweise kann der Ausgang abhängig von der relativen Phase der Eingangswellen vergrößert oder abgeflacht werden.

Welche Rolle spielt Interferenz beim Quantencomputing? Lassen Sie uns einige Experimente durchführen.

Mach Zehnder Interferometer (Quelle)

Im ersten Experiment bereiten wir alle eingehenden Photonen auf einen Polarisationszustand | 0⟩ vor. Dieser Strom polarisierter Photonen wird durch die Position des Strahlteilers B bei 45 ° gleichmäßig aufgeteilt, dh der Strahl wird in zwei orthogonal polarisierte Lichter aufgeteilt und tritt auf getrennten Wegen aus. Dann verwenden wir Spiegel, um die Photonen zu zwei getrennten Detektoren zu reflektieren und die Intensität zu messen. Aus Sicht der klassischen Mechanik teilen sich Photonen in zwei getrennte Pfade und treffen gleichmäßig auf die Detektoren.

Im zweiten Experiment oben haben wir einen weiteren Strahlteiler vor die Detektoren gestellt. Intuitiv arbeiten die Strahlteiler unabhängig voneinander und teilen einen Lichtstrom in zwei Hälften. Beide Detektoren sollten die Hälfte der Lichtstrahlen erfassen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Photon den Detektor D₀ über den roten 1-Pfad erreicht, ist:

Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass ein Photon D₀ erreicht, beträgt 1/2 entweder vom 1-Pfad oder vom 0-Pfad. Beide Detektoren erfassen also die Hälfte der Photonen.

Das stimmt aber nicht mit dem experimentellen Ergebnis überein! Nur D₀ erkennt Licht. Lassen Sie uns den Zustandsübergang für einen Strahlteiler mit einem Hadamard-Gate modellieren. Für das erste Experiment ist also der Photonenzustand nach dem Splitter

Wenn es gemessen wird, ist die Hälfte von ihnen | 0⟩ und die Hälfte von ihnen ist | 1⟩. Die Lichtstrahlen sind gleichmäßig in zwei verschiedene Wege aufgeteilt. Unser Hadamard-Tor wird also mit der klassischen Berechnung übereinstimmen. Aber mal sehen, was im zweiten Experiment passiert ist. Wie zuvor gezeigt, sind alle Photonen wieder | 0⟩, wenn wir alle Eingangsphotonen auf | 0⟩ vorbereiten und sie in zwei Hadamard-Gatter leiten. Wenn es gemessen wird, erkennt nur D₀ den Lichtstrahl. Keiner wird D₁ erreichen, solange wir vor beiden Detektoren keine Messung durchführen. Experimente bestätigen, dass die Quantenberechnung korrekt ist, nicht die klassische Berechnung. Mal sehen, wie Interferenz hier im zweiten Hadamard-Tor eine Rolle spielt.

Wie unten gezeigt, interferieren Komponenten derselben Berechnungsbasis konstruktiv oder destruktiv miteinander, um das korrekte experimentelle Ergebnis zu erzielen.

Wir können den Eingangsphotonenstrahl auf | 1⟩ vorbereiten und die Berechnung erneut wiederholen. Der Zustand nach dem ersten Teiler unterscheidet sich vom ursprünglichen durch eine Phase von π. Wenn wir jetzt messen, werden beide Experimente die gleichen Messungen durchführen.

Wenn Sie jedoch das Hadamard-Gate erneut anwenden, wird | 0⟩ und | 1⟩ erzeugt. Interferenz schafft komplexe Möglichkeiten.

Lassen Sie mich noch ein lustiges Experiment durchführen, das einen sehr bedeutenden Einfluss auf die Cybersicherheit hat.

Wenn wir nach dem ersten Splitter einen weiteren Detektor Dx einsetzen, zeigt das Experiment, dass beide Detektoren jetzt die Hälfte der Photonen erfassen. Stimmt das mit der Berechnung in der Quantenmechanik überein? Wenn wir in der folgenden Gleichung nach dem ersten Splitter eine Messung hinzufügen, erzwingen wir einen Kollaps in der Überlagerung. Das Endergebnis unterscheidet sich von einem Ergebnis ohne den zusätzlichen Detektor und stimmt mit dem experimentellen Ergebnis überein.

Die Natur sagt uns, dass beide Detektoren die Hälfte der Photonen erfassen, wenn Sie wissen, welchen Weg das Photon nimmt. Tatsächlich können wir dies mit nur einem Detektor in einem der Pfade erreichen. Wenn vor beiden Detektoren keine Messung durchgeführt wird, landen alle Photonen im Detektor D₀, wenn das Photon auf | 0⟩ vorbereitet ist. Auch hier führt uns die Intuition zu einer falschen Schlussfolgerung, während die Quantengleichungen vertrauensvoll bleiben.

Dieses Phänomen hat eine kritische Implikation. Die zusätzliche Messung zerstört die ursprüngliche Interferenz in unserem Beispiel. Der Zustand eines Systems wird nach einer Messung geändert. Dies ist eine der Hauptmotivationen für die Quantenkryptographie. Sie können einen Algorithmus so entwerfen, dass Sie, wenn ein Hacker die Nachricht zwischen Ihnen und dem Absender abfängt (misst), ein solches Eindringen erkennen können, unabhängig davon, wie sanft die Messung sein kann. Weil das Muster der Messung anders ist, wenn es abgefangen wird. Der No-Cloning-Satz in der Quantenmechanik besagt, dass man einen Quantenzustand nicht exakt duplizieren kann. Daher kann der Hacker die ursprüngliche Nachricht nicht duplizieren und erneut senden.

Jenseits der Quantensimulation

Wenn Sie Physiker sind, können Sie das Interferenzverhalten in Quantentoren nutzen, um dieselbe Interferenz in den Atomwelten zu simulieren. Die klassischen Methoden arbeiten mit der Wahrscheinlichkeitstheorie mit Werten größer oder gleich Null. Es setzt Unabhängigkeit voraus, die in Experimenten nicht zutrifft.

Der Quantenmechanismus behauptet, dieses Modell sei falsch und führt ein Modell mit komplexen und negativen Zahlen ein. Anstatt die Wahrscheinlichkeitstheorie zu verwenden, wird das Problem mithilfe von Interferenzen modelliert.

Was bringt es also für Nicht-Physiker? Die Störung kann als der gleiche Mechanismus wie ein einheitlicher Bediener behandelt werden. Es kann leicht in einem Quantencomputer implementiert werden. Mathematisch ist der einheitliche Operator eine Matrix. Wenn die Anzahl der Qubits zunimmt, erhalten wir ein exponentielles Wachstum der Koeffizienten, mit denen wir spielen können. Dieser einheitliche Operator (Interferenz im Auge des Physikers) ermöglicht es uns, alle diese Koeffizienten in einer einzigen Operation zu manipulieren, was die Tür für massive Datenmanipulationen öffnet.

Verstrickung

Im Allgemeinen glauben Wissenschaftler, dass Quantenalgorithmen ohne Verschränkung keine Vormachtstellung gegenüber klassischen Algorithmen zeigen können. Leider verstehen wir die Gründe nicht gut und wissen daher nicht, wie wir einen Algorithmus anpassen können, um sein volles Potenzial auszuschöpfen. Aus diesem Grund wird bei der Einführung des Quantencomputers häufig eine Verschränkung erwähnt, jedoch nicht viel später. Aus diesem Grund werden wir in diesem Abschnitt erklären, was Verstrickung ist. Hoffe, dass Sie der Wissenschaftler sind, der das Geheimnis bricht.

Betrachten Sie die Überlagerung von 2 Qubits.

Dabei bedeutet | 10>, dass sich zwei Teilchen in einem Down-Spin bzw. einem Up-Spin befinden.

Betrachten Sie den folgenden zusammengesetzten Zustand:

Können wir den zusammengesetzten Zustand wieder in zwei einzelne Zustände aufteilen, wie z.

Wir können nicht, weil es erfordert:

Die Quantenmechanik demonstriert ein nicht intuitives Konzept. In der klassischen Mechanik glauben wir, dass das Verständnis des gesamten Systems durch ein gutes Verständnis der einzelnen Unterkomponenten erreicht werden kann. Aber in der Quantenmechanik

Wie bereits gezeigt, können wir den zusammengesetzten Zustand modellieren und Messvorhersagen perfekt treffen.

Wir können es jedoch nicht als zwei unabhängige Komponenten beschreiben oder verstehen.

Ich stelle mir dieses Szenario als ein Paar vor, das seit 50 Jahren verheiratet ist. Sie sind sich immer einig, was zu tun ist, aber Sie können die Antworten nicht finden, wenn Sie sie als separate Personen behandeln. Dies ist ein stark vereinfachtes Szenario. Es gibt viele mögliche Verschränkungszustände

und es wird viel schwieriger sein, sie zu beschreiben, wenn die Anzahl der Qubits zunimmt. Bei der Durchführung von Quantenoperationen wissen wir, wie Komponenten korreliert (verwickelt) sind. Vor jeder Messung bleiben jedoch die genauen Werte offen. Die Verschränkung erzeugt Korrelationen, die weitaus umfangreicher und für einen klassischen Algorithmus wahrscheinlich viel schwieriger effizient nachzuahmen sind.

Nächster

Jetzt wissen wir, wie man Qubits mit einheitlichen Operationen manipuliert. Aber für diejenigen, die an Quantenalgorithmen interessiert sind, sollten wir zuerst wissen, was die Einschränkung ist. Andernfalls können Sie übersehen, was beim Quantencomputing schwierig ist. Aber für diejenigen, die zuerst mehr über das Quantentor wissen möchten, können Sie den zweiten Artikel vor dem ersten lesen.