Die Essenz der Quantenmechanik Teil 2: Komplexe Zahlen

Eulers Identität

Im ersten Artikel dieser Reihe haben wir einige grundlegende physikalische Intuitionen skizziert und einige Möglichkeiten beschrieben, wie sich die Quantenphysik von der klassischen Physik des Alltags unterscheidet. Der wichtigste Unterschied zwischen der klassischen und der Quantenphysik besteht darin, dass die Quantenphysik dazu neigt, sich dem intuitiven Verständnis zu widersetzen, und daher am besten im Sinne eines abstrakten mathematischen Formalismus verstanden wird. Bevor wir mit dem Aufbau dieses Formalismus fortfahren können, müssen wir einige mathematische Grundlagen durchgehen.

Das erste Stück dieser Grundlage muss eine Vertrautheit mit komplexen Zahlen sein. Der größte Teil des mathematischen Formalismus der Quantenphysik wird in komplexen Zahlen ausgedrückt, und es wäre äußerst umständlich, wenn nicht unmöglich, diesen Formalismus nur in reellen Zahlen auszudrücken.

Felder

Die komplexen Zahlen lassen sich am besten erklären, indem man sie als Erweiterung des Feldes der reellen Zahlen einführt. Unser erster Schritt muss daher sein, zu erklären, was ein Feld ist. Ein Feld (F, +, ×) oder einfach F ist eine Menge von Objekten in Kombination mit zwei binären Operationen + und ×, die als Addition und Multiplikation bezeichnet werden. (Beachten Sie, dass Felder sehr allgemeine Objekte sind und diese Operationen möglicherweise überhaupt nichts zu tun haben mit der üblichen arithmetischen Multiplikation und Addition), die die Feldaxiome erfüllt. Wir überspringen oft das Multiplikationssymbol und schreiben einfach „ab“ anstelle von a × b. Eine binäre Operation weist einem Objektpaar einen Wert zu. Additionen ist ein Beispiel für eine binäre Operation, bei der zwei Zahlen zu einer dritten addiert werden. Dies steht im Gegensatz zu einer unären Operation, die nur ein einziges Element benötigt. Die Quadratwurzeloperation ist ein Beispiel für eine unäre Operation.

Die Feldaxiome lauten wie folgt:

  • Abschluss: Wenn a, b ∈ F, dann a + b ∈ F und a × b ∈ F. (Das Symbol ∈ bedeutet „Element von“).
  • Identitäten: Es gibt Elemente 1 und 0 in F (dies müssen nicht die Zahlen 1 und 0 sein), die multiplikative und additive Identitäten genannt werden. Sie haben die Eigenschaft, dass für alle a∈ F a × 1 = a und a + 0 = a.
  • Inverse: Für jedes a every F existieren Elemente -a und 1 / a, die als additive und multiplikative Inverse bezeichnet werden. Diese haben die Eigenschaft, dass a + (- a) = 0 und a × (1 / a) = 1. Die Ausnahme ist 0, die keine multiplikative Inverse hat.
  • Kommutativität: a + b = b + a und a × b = b × a
  • Assoziativität: (a + b) + c = a + (b + c) und (a × b) × c = a × (b × c)
  • Verteilungsfähigkeit: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

Leute, die eine lineare Algebra kennen, können eine starke Ähnlichkeit mit den Vektorraumaxiomen bemerken. Dies ist kein Zufall, ein Feld ist trivialerweise ein Vektorraum über sich selbst, wobei die Vektoradditionsoperation die Additionsoperation des Feldes und die Skalarmultiplikation die Multiplikation des Feldes ist.

Sowohl die rationalen als auch die reellen Zahlen sind sehr wichtige Felder. Für jedes Feld F gibt es einige wichtige Felder, die mit F verknüpft sind. Das erste ist das Feld aller Polynome mit Koeffizienten aus F, wir bezeichnen dies mit F [x] (die Variable x ist willkürlich und muss kein Element von F sein). . Die anderen wichtigen Felder sind die Erweiterungen von F.

Polynome und Felderweiterungen

Bei gegebenem Feld F können wir eine Erweiterung von F erzeugen, indem wir an ein Element α angrenzen, das kein Element von F ist. Wir nennen das resultierende Erweiterungsfeld F (α) und seine Elemente sind a + bα für alle a, b ∈ F. Wir können natürlich Elemente an dieses Erweiterungsfeld angrenzen, so dass beispielsweise (F (α)) (β) = F (α, β) ist, welches ein Feld ist, dessen Elemente a + bα + cβ für alle a, b, c ∈ F sind Diejenigen, die die lineare Algebra kennen, werden feststellen, dass sich die Erweiterung genau wie ein Vektorraum über F verhält und deren Basis {1, α, β} ist. Wenn es n Elemente in der Basis der Felderweiterung gibt, sagen wir, dass die Felderweiterung endlich ist und den Grad n hat.

Okay, warum müssen wir uns damit beschäftigen?

Angenommen, wir haben ein Feld F und ein Polynom p (x) ∈ F [x], dh ein Polynom, dessen Koeffizienten Elemente von F sind. Es muss nicht so sein, dass die Wurzeln von p (x) auch Elemente von sind F. Zum Beispiel hat das Polynom x²-2 Wurzeln ± √2. Die Koeffizienten 1 und 2 sind rationale Zahlen, daher ist dieses Polynom ein Element von ℚ [x]. Ihre Wurzeln sind jedoch keine rationalen Zahlen. Daher ist das Wurzelfeld von x²-2, dh das kleinste Feld (das kleinste in dem Sinne, dass kein geeignetes Unterfeld auch die Wurzeln von x² + 2 enthält), ℚ (√2). Da wir gerade gesehen haben, dass es ein Polynom gibt, dessen Koeffizienten von ℚ stammen, dessen Wurzeln jedoch keine Elemente von ℚ sind, sagen wir, dass ℚ nicht algebraisch geschlossen ist. Aber auch nicht ℚ (√2), wenn man das Polynom x²-3√2 betrachtet, dessen Wurzeln ± (√3) √ (√2) sind, die keine Elemente von ℚ (√2) sind, da √3 kein Element ist von ℚ (√2).

Beweis: Nehmen wir an, dass √3 ∈ ℚ (√2) so ist, dass es a, b ∈ ∈ gibt, so dass √3 = a + b√2. Dann ist 3 = a² + 2√2ab + 2b². Da a², b² und ab rationale Zahlen sind und Produkte und Summen von rationalen Zahlen mit irrationalen Zahlen irrational sind, ist a² + 2√2ab + 2b² eine irrationale Zahl. Dies würde bedeuten, dass 3 eine irrationale Zahl ist, was falsch ist. Daher kann es keine rationalen Zahlen a und b geben, so dass √3 = a + b√2, also √3 ∉ℚ (√2). ∎

Tatsächlich kann man zeigen, obwohl wir es hier nicht tun, dass keine endliche Erweiterung von ℚ algebraisch geschlossen ist. Wir könnten die reellen Zahlen versuchen, eine unendliche Erweiterung der Rationalen, aber ℝ ist auch nicht algebraisch geschlossen, um das Polynom x² + 1 zu betrachten, dessen Wurzeln ± √ (-1) sind, was wegen des Quadrats von keine reelle Zahl ist Jede reelle Zahl muss positiv sein. Um dies zu umgehen, erfinden wir eine neue Zahl mit dem Namen i = √ (-1) und setzen diese Zahl an ℝ an. Dabei erhalten wir ℝ (i), besser bekannt als ℂ, die Menge der komplexen Zahlen. Mit den Methoden der komplexen Analyse kann man den Fundamentalsatz der Algebra beweisen, der besagt, dass jedes Polynom mit Koeffizienten aus ℂ stammt und Wurzeln in ℂ hat.

Der Zweck dieses Abschnitts war es, die Ursprünge der komplexen Zahlen aufzuzeigen: ℂ ist der algebraische Abschluss der rationalen und reellen Zahlen. Jedes Polynom mit Koeffizienten aus ℂ oder natürlich einer seiner Teilmengen, einschließlich ℚ und roots, hat Wurzeln in ℂ.

Komplexe Algebra

Wenn der vorherige Abschnitt nicht intuitiv oder schwer zu verstehen war, sind Sie froh zu wissen, dass die Regeln, denen komplexe Zahlen tatsächlich folgen, viel einfacher sind und sich mehr oder weniger genau so verhalten, wie Sie es erwarten würden. Sei u = a + ib und v = c + id. Die grundlegenden Feldoperationen sind Standardaddition und Multiplikation:

  • Addition: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d) Die Realteile und Imaginärteile werden getrennt addiert.
  • Multiplikation: (a + ib) (c + id) = ac-bd + i (ad + bc). Es wird genau die FOIL-Methode zum Multiplizieren von Polynomen verwendet, wobei zu berücksichtigen ist, dass i² = -1 ist

Jede einheitliche Operation, die wir einer reellen Zahl auferlegen können, kann auch einer komplexen Zahl auferlegt werden. Wir können Potenzen komplexer Zahlen annehmen, ihre n-te Wurzel finden und so weiter. Es gibt aber auch einige spezielle neue Operationen.

  • Komplexe Konjugation: Bei einer komplexen Zahl z = a + ib ist das komplexe Konjugat von z a-ib. Das komplexe Konjugat von z wird mit einem Strich über z oder mit einem hochgestellten Sternchen gekennzeichnet. Medium unterstützt diese Notation nicht.
  • Re {z} und Im {z}: Diese beziehen sich auf den Realteil bzw. den Imaginärteil von z. Re {a + ib} = a und Im {a + ib} = b. Hüten Sie sich vor dem häufigen Fehler, anzunehmen, dass Im {a + ib} = ib ist.
  • Die Größe von z: Wird auch als Modul oder Absolutwert von z bezeichnet. Es wird mit | z | bezeichnet und erhält man, indem man die Quadratwurzel des z-fachen seines komplexen Konjugats nimmt. | a + ib | = √ ((a + ib) (a-ib)) = √ (a² + b²).

Komplexe Konjugation ermöglicht es uns, komplexe Zahlen zu teilen. Multiplizieren Sie einfach Zähler und Nenner mit dem komplexen Konjugat des Nenners:

Wir werden jetzt ein berühmtes und äußerst wichtiges Ergebnis nachweisen.

Eulers Identität

Mit Eulers Identität können wir eine äußerst wichtige Funktion definieren, die als komplexes Exponential bezeichnet wird. Es wird geschrieben als:

Diese Formel wird traditionell mit Potenzreihen bewiesen. Beachten Sie, dass:

Beachten Sie außerdem Folgendes:

Wobei k eine ganze Zahl größer oder gleich Null ist. Zum Beispiel ist i² & sup5; ¹ = -i, weil 29731 = 29728 +3 = 4 (7432) +3. Nun verwenden wir diese und unsere Potenzreihendarstellungen der Exponential-, Sinus- und Cosinusfunktionen, um die Identität zu beweisen:

Womit der Beweis abgeschlossen ist.

Die geometrische Interpretation

Es kann sehr praktisch sein, eine komplexe Zahl als Punkt in der sogenannten komplexen Ebene (gelegentlich auch als Gauß-Ebene bezeichnet) darzustellen: ein Koordinatensystem mit dem Realteil auf einer Achse und dem Imaginärteil auf der anderen:

Ein solches Diagramm wird nach dem französischen Mathematiker Jean-Robert Argand als Argand-Diagramm bezeichnet.

Denken Sie daran, dass wir die Größe einer komplexen Zahl a + ib als √ (a² + b²) definiert haben. Nach dem Satz von Pythagoras ist dies die Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit Beinen der Länge a und b. Daher gibt die Größe einer komplexen Zahl ihren Abstand vom Ursprung an. Sei r = | a + ib | = √ (a² + b²).

Aus der Grundtrigonometrie sind a = r × cos (θ), b = r × sin (θ) und θ = arctan (b / a). Daher ist z = a + ib = r × (cos (& thgr;) + i × sin (& thgr;)). Durch die Verwendung von Eulers Identität können wir also z in der sogenannten polaren Form darstellen:

Wenn wir z und seine Position in der komplexen Ebene in Bezug auf den Real- und Imaginärteil von z darstellen, sagen wir, dass wir z in rechteckiger oder kartesischer Form dargestellt haben.

Anwendung: Drehen eines Vektors

Sie haben vielleicht gehört, dass komplexe Zahlen als Transformationen betrachtet werden können, die Vektoren in der Ebene drehen und dehnen. Tatsächlich können die komplexen Zahlen nicht nur als Transformationen betrachtet werden, die einen Vektor in der Ebene drehen und dehnen, sondern sind auch die Menge solcher Transformationen in dem Sinne, dass jede einzelne komplexe Zahl (mit Ausnahme von 0) eine Transformation davon darstellt Art.

Angenommen, wir erhalten den Positionsvektor (2, 3) und müssen die Werte der Koordinaten ermitteln, nachdem wir den Vektor um 47,5 Grad gegen den Uhrzeigersinn gedreht haben. Skalieren Sie die Länge des Vektors um den Faktor 0,7 und drehen Sie ihn um 25 Grad im Uhrzeigersinn, und skalieren Sie dann den Vektor um den Faktor 1,5. Der direkteste Weg, dies zu tun, ist durch eine Folge von Transformationsmatrizen:

Wir finden, dass die neuen Koordinaten ungefähr (0,735, 3,714) sind.

Die Matrixmultiplikation ist sehr langwierig, so dass wir uns fragen könnten, ob es vielleicht eine bessere Möglichkeit gibt, dies zu tun. Glücklicherweise können wir dies mit komplexen Zahlen viel einfacher tun. Beginnen Sie mit der Darstellung des Vektors (2,3) als komplexe Zahl 2 + 3i. In polarer Form ist dies √ (13) × exp {i × 56,31}. Die erste Transformationsmatrix wird durch 0,7 × exp {i × 47,5 °} und die zweite durch 1,5 × exp {-i × 25 °} dargestellt. Das negative Vorzeichen liegt darin, dass die Drehung im Uhrzeigersinn erfolgt. Um die komplexe Zahlendarstellung des neuen Vektors zu finden, multiplizieren Sie diese einfach miteinander:

Und diese komplexe Zahl stellt den Positionsvektor dar (0,735, 3,714), sodass wir dieselbe Antwort mit viel weniger Aufwand erhalten haben.

Der Beweis hierfür erfordert eine Gruppentheorie, auf die in einem zukünftigen Artikel eingegangen wird. Der Beweis läuft darauf hinaus, dass die Gruppe der komplexen Zahlen ohne 0 bei der Multiplikation isomorph zu der Gruppe der Matrizen ist, die bei der Matrixmultiplikation einen zweidimensionalen Vektor skalieren und drehen. Wenn zwei Gruppen (oder eine beliebige algebraische Struktur) isomorph sind, können wir ein Element einer der Strukturen mit einem eindeutigen Objekt in der anderen darstellen.

In drei Dimensionen wird es noch hässlicher, wenn wir versuchen, diese Operationen nur mit der Matrixmultiplikation durchzuführen. Aber genauso wie wir die komplexen Zahlen verwenden können, um zweidimensionale Rotationen einfacher durchzuführen, können wir die komplexen Zahlen auf ein neues System erweitern, das Quaternionen genannt wird, und Quaternionenalgebra verwenden, um diese Rotationen effizient auszuführen. Quaternionen sind ein sehr interessantes Thema und ich werde definitiv irgendwann darüber schreiben, aber wir sind hier für die Quantenmechanik, also müssen sie leider auf einen anderen Tag warten.

Fazit

Das dauerte viel, viel länger als ursprünglich geplant. Es tut mir Leid. Glücklicherweise wird mein Stundenplan in den nächsten Monaten viel freier sein, sodass ich mich mehr auf diese Serie konzentrieren kann.

Dieser Artikel enthält nur eine äußerst kurze Einführung in die komplexen Zahlen, soweit dies für die folgenden Artikel erforderlich ist. Jede weitere Theorie (analytische Funktionen, Zeiger usw.) wird entwickelt, wenn / wenn sie erforderlich werden. Es wurden ganze Lehrbücher über die algebraische Struktur der komplexen Zahlen, die Theorie komplexer Funktionen und die Anwendung komplexer Zahlen auf Physik und Ingenieurwissenschaften geschrieben. Zur weiteren Lektüre enthält das gemeinsame Physiklehrbuch Physics for Scientists and Engineers von Douglas Giancoli einige großartige Diskussionen zu diesem Thema und integriert komplexe Mathematik sehr gut in seine Physikpädagogik (die dritte Ausgabe ist derzeit zu einem sehr günstigen Preis erhältlich). Für diejenigen, die eine leicht zugängliche Behandlung einiger der formaleren Ideen suchen, die ich in diesem Artikel angedeutet habe, wäre A Book of Abstract Algebra von Pinter ein wunderbarer Einstieg und es gibt nur wenige Voraussetzungen, die über die Mathematik der High School hinausgehen, auch sehr vernünftigerweise preislich. (Offenlegung: Ich erhalte keine Entschädigung von den Autoren oder Herausgebern eines dieser Lehrbücher und habe keinerlei Beziehung zu ihnen.)

Damit sind wir nun bereit, zur nächsten mathematischen Voraussetzung überzugehen: der linearen Algebra, der Theorie der Vektoren und der Vektorräume.