Die Natur der Unendlichkeit - und darüber hinaus

Eine Einführung in Georg Cantor und sein transfinites Paradies

Georg Cantor (links) und seine legendäre Veröffentlichung von 1874 „Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen“ im Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (1874).

Georg Cantor zeigte als Kind eine ausgesprochen künstlerische Laufbahn und war angeblich ein herausragender Geiger. Sein Nachname "Cantor" bedeutet auf Latein "Sänger" oder "Musiker". Als er 1867 - im Alter von 22 Jahren - seine Doktorarbeit an der Universität Berlin abschloss, nannte er sie In re mathematica ars propendi pluris facienda est quam solvendi, die auf Englisch lautet: „In der Mathematik ist die Kunst, Fragen zu stellen, wertvoller als Probleme zu lösen ”. Später als legendärer Denker bekannt, wurde Cantor der Mann, der es wagte, eine der tiefsten und grundlegendsten Fragen zu stellen und zu beantworten:

Wie groß ist die Unendlichkeit?

Cantor wurde allgemein als unbeantwortbar angesehen und führte in den 1870er, 80er und 90er Jahren radikal neue Ideen zur Beantwortung dieser Frage ein, die die Mengenlehre als neuen Zweig der reinen Mathematik etablierten. In diesem Artikel möchten wir Ihnen seine bemerkenswerteste Arbeit und ihre Auswirkungen vorstellen.

Frühes Leben (1845–69)

Georg Cantor hatte gewissermaßen das Glück, am 3. März 1845 in Sankt Petersburg geboren worden zu sein. Seine Eltern waren Dänen. Seine Mutter Marie (Familienname Meyer) stammte aus einer Musikerfamilie russischer Herkunft und sein Vater Georg Woldemar war ein sehr erfolgreicher Geschäftsmann, zunächst als Großhändler in St. Petersburg und später als Makler an der Börse der Stadt.

Der Vater und die Mutter des Kantors, G.W. und Marie Cantor

Cantor wurde stark von seinem Vater beeinflusst, einem Mann mit großen kulturellen und philosophischen Interessen, der ihm während der Schul- und Universitätsjahre seines Sohnes viele wichtige Ratschläge zu seinem Leben und seiner Karriere gab. Trotz der Tatsache, dass er die mathematischen Fähigkeiten seines Sohnes erkannte, würde er nach wie vor hartnäckig versuchen, seinen Sohn als vielversprechenderes Berufsfeld als Mathematiker zum Ingenieur zu zwingen.

Bildung (1860-69)

Kantors Noten im Alter von 8 Jahren, als er die St.Petri-Schule für deutschsprachige Menschen in St.Petersburg besuchte.

Cantors Schulkarriere ähnelte der vieler hochbegabter Mathematiker - eine frühe Erkennung seines Talents (vor dem Alter von 15 Jahren) und ein starkes Interesse an seinem Studium. Cantor erhielt bereits in Sankt Petersburg Nachhilfeunterricht. In Deutschland besuchte er zunächst eine Privatschule in Frankfurt an der Fachhochschule Darmstadt, bevor er 1860 das Wiesbadener Gymnasium besuchte. Er schloss sein Studium mit Auszeichnung an der Realschule in Darmstadt ab und begann 1862 sein Universitätsstudium an der Höheren Gewerbschule, an der er zwei Ingenieurwissenschaften studierte Jahre bevor er an die Eidgenössische Politische Hochschule (ETH Zürich) wechselte, um sich der Mathematik zu widmen. Nach dem Tod seines Vaters an Tuberkulose im nächsten Jahr erhielt er ein erhebliches Erbe (eine halbe Million Mark) und verlegte sein Studium an die Universität Berlin.

Humboldt-Universität zu Berlin im Jahre 1850 (damals Friedrich-Wilhelm-Universität)

In Berlin besuchte Cantor Vorträge von Ernst Kummer, Leopold Kronecker und Karl Weierstraß, deren Interesse an der Arithmetik einen starken Einfluss auf sein frühestes Werk ausübte. 1866 verbrachte er das Sommersemester an der Universität Göttingen, der damaligen Welthauptstadt des mathematischen Denkens. Sowohl in seiner Dissertation „De aequationibus secundi gradus indeterminatis“ (1867) als auch in seiner Habilitation „De transformatione formarum ternariarum quadraticarum“ (1869) ging es um die Zahlentheorie, insbesondere um ein aus Gauß 'Disquisitiones Arithmeticae verbleibendes Problem bei der Lösung der unbestimmten diophantinen Gleichung ax² + by² + cz² = 0, auch als Legendre-Gleichung bekannt.

Georg Cantor um 1870

Obwohl er als docta et ingeniosa („Gelehrt und Klug“) seiner „streng klassischen Dissertation“ gelobt wurde, gab sein ungeachtetes Alter keinen besonderen Hinweis auf das zukünftige Genie. Er hat seine mündliche Prüfung magna cum laude bestanden. Nach Erhalt seiner Promotion er verließ Berlin, um eine Stelle als Privatdozent (ein Dozent, der von den Gebühren lebt, die er von seinen Studenten einnehmen kann) an der Universität Halle anzunehmen und seinen Freund K.H.A. Schwartz (der nach Zürich ging) und übernahm die Arbeit bei Eduard Heine, dem dortigen Professor für Mathematik.

Frühe Karriere (1870–73)

Einige haben argumentiert, dass die Vorgeschichte von Cantors späterer bahnbrechender Arbeit bis in seine frühesten postgradualen Veröffentlichungen zurückreicht. In der Tat kann man in Cantors Forschung zur Theorie der trigonometrischen Reihen Spuren seines frühen Interesses für das „Kontinuum“ finden. Nach den Einflüssen von Weierstrass in Berlin und Heine in Halle wurde im März 1870 Cantors erster Aufsatz "Über einen trigonometrischen Reihen entsprechenden Lehrsatz" zur Veröffentlichung fertiggestellt und positioniert, um das Verständnis von "voranzutreiben" die Konvergenzeigenschaften der Darstellung einer willkürlich gegebenen Funktion mittels unendlicher trigonometrischer Reihen “. Ausgehend von der trigonometrischen Reihe und den von Riemann durchgeführten Arbeiten zu Funktionen einer komplexen Variablen zeigte Cantor in der Arbeit den folgenden Satz:

Cantors Uniqueness Theorem (1870): Jede Funktion f: ℝ → ℝ kann höchstens eine Darstellung durch eine trigonometrische Reihe haben.

Wenn eine Funktion f (x) durch eine für alle x konvergente trigonometrische Reihe dargestellt wird, ist diese Darstellung eindeutig. 1871 verstärkte er das Ergebnis und bewies, dass die Einzigartigkeit auch dann gilt, wenn die Reihe in einem bestimmten Intervall um eine endliche Anzahl von Punkten auseinander geht. Dieses Ergebnis war zuvor von vielen der größten Köpfe der damaligen Zeit versucht worden, darunter Heine, Peter Dirichlet und Bernhard Riemann, die bisher nur unter bestimmten Umständen nachweisen konnten, dass dies der Fall war.

Seine nächste Veröffentlichung, die 1872 erschien, erweiterte das Ergebnis noch weiter. Der Aufsatz "Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trignometrischen Reihen" definiert einen Grenzpunkt einer Punktmenge P so, dass jeder beliebige Punkt ist Die Nachbarschaft des Punktes enthält unendlich viele Punkte von P. Die erste Ableitung von P (bezeichnet mit P ') ist die Menge aller Grenzpunkte von P, die zweite Ableitung P' 'ist die Menge aller Grenzpunkte von P' und so weiter auf. Diese Definition legte den Grundstein für eine Punkt-Set-Topologie, die später insbesondere von Felix Hausdorff, Émile Borel und Maurice René Fréchet erweitert wurde. Cantor verwendete die Definition, um seinen Eindeutigkeitssatz zu verbessern, indem er zeigte, dass der Satz auch dann gilt, wenn die trigonometrische Reihe bei einer unendlichen Anzahl von Punkten divergiert, vorausgesetzt, die Menge von Punkten ist von endlicher Ordnung (eine Punktmenge P ist von endlicher Ordnung, wenn für eine ganze Zahl n ist die n-te Ableitung P⁽ⁿ⁾ von P eine endliche Menge).

Rückblickend betrachtet verbindet der Aufsatz Cantors frühe Arbeiten in der Analyse mit dem, was heute als sein wichtigstes Werk zur Erforschung von transfiniten Mengen gilt, zum Beispiel mit dem Fokus auf unendliche Punktmengen und der Definition von reellen Zahlen, die er liefert:

Cantors Definition von reellen Zahlen ℝ (1872): Eine reelle Zahl ist eine unendliche Reihe rationaler Zahlen:
a₁, a₂, ..., aᵤ, ..
so daß für jedes gegebene ε ein u₁ existiert, so daß für u ≥ u₁ und für jede positive ganze Zahl v | aᵤ₊ᵥ - aᵤ | <ε.

Cantor diskutiert diese Definition und vergleicht sie mit den Definitionen seiner früheren und gegenwärtigen Mentoren Weierstrass in Berlin und Heine in Halle. Die Ergebnisse ergänzten seine bisherigen Arbeiten und reichten aus, um Cantor 1872 zum außerorderntlichen Professor an der Universität Halle zu befördern.

Briefwechsel mit Richard Dedekind (1872–73)

Später im selben Jahr lernte Cantor Richard Dedekind kennen, der zu diesem Zeitpunkt Professor für Mathematik an der Technischen Hochschule in Braunschweig war. Dedekind hatte zuvor eine Arbeit veröffentlicht, die eine axiomatische Analyse der Struktur der Menge reeller Zahlen lieferte ℝ. Er definierte die reellen Zahlen als ein vollständiges, geordnetes Feld. Cantor und Dedekind tauschten über viele Jahre hinweg Briefe aus. Die mathematischen Teile ihrer Briefe wurden später von Noether und Cavailleès (1937) veröffentlicht und werden heute an der Universität von Evansville in Indiana aufbewahrt.

Am 29. November 1873 sandte Cantor einen Brief an Dedekind mit der Frage, ob die Sammlung natürlicher Zahlen und die Sammlung positiver reeller Zahlen „so korrespondiert werden können, dass jedes Individuum einer Sammlung einem und nur einem Individuum des anderen entspricht“. Dedekind antwortete darauf schriftlich, dass er die Antwort nicht kenne, fügte jedoch hinzu, dass die Frage nicht von großem praktischem Interesse sei. An diesem Punkt scheint Cantor dieser Behauptung zuzustimmen und zu erklären, dass sein Interesse an der Sache mit Joseph Liouvilles Satz von 1844 zusammenhängt, der die Existenz transzendenter Zahlen beweist:

Halle, 2. Dezember 1873
Ich habe mich außerordentlich über Ihre Antwort auf meinen letzten Brief gefreut. Ich habe Ihnen meine Frage gestellt, weil ich mich schon vor einigen Jahren darüber Gedanken gemacht hatte und nie sicher war, ob die Schwierigkeiten, die ich fand, subjektiv waren oder ob sie dem Thema innewohnten. Da Sie schreiben, dass auch Sie nicht in der Lage sind, darauf zu antworten, kann ich davon ausgehen, dass Letzteres der Fall ist. Darüber hinaus möchte ich hinzufügen, dass ich mich noch nie ernsthaft damit beschäftigt habe, weil es für mich kein besonderes praktisches Interesse hat. Und ich stimme Ihnen voll und ganz zu, wenn Sie sagen, dass es aus diesem Grund nicht viel Mühe verdient. Aber es wäre gut, wenn es beantwortet werden könnte; z.B. Wenn dies mit Nein beantwortet werden könnte, hätte man einen neuen Beweis für Liouvilles Theorem, dass es transzendente Zahlen gibt.
- G. Cantor

Aus Cantors nächstem Brief wenige Tage später geht jedoch klar hervor, dass sein Interesse an dem Thema nicht ganz so flüchtig war, wie er es Dedekind gegenüber zum Ausdruck gebracht hatte, obwohl er zu diesem Zeitpunkt keine besonders wichtigen Implikationen aufzeigt:

Halle, 7. Dezember 1873
"..In den letzten Tagen hatte ich die Zeit, die Vermutung, von der ich mit Ihnen gesprochen habe, gründlicher zu verfolgen; erst heute glaube ich, mit der Sache fertig zu sein; aber wenn ich mich selbst täuschen sollte, sollte ich mit Sicherheit keine finden nachsichtiger Richter als Sie. "

In dem Brief fährt Cantor als nächstes mit dem ersten Entwurf eines Beweises fort, warum die reellen Zahlen nicht eins zu eins mit den natürlichen Zahlen korrespondieren können. Keine zwei Tage später schickt er Dedekind einen überarbeiteten und einfacheren Beweis, zusammen mit seiner Entschuldigung, dass er sich mit der Sache beschäftigt hat:

Halle, 9. Dezember 1873
Ich habe bereits einen vereinfachten Beweis des gerade bewiesenen Theorems gefunden, so dass die Zerlegung der Folge in (1), (2), (3), ... nicht mehr notwendig ist. Ich zeige das direkt, wenn ich mit einer Sequenz beginne
(i) ω₁, ω₂, ..., ωᵤ,
dann kann ich in jedem gegebenen Intervall (α ... β) eine Zahl η bestimmen, die nicht in (i) enthalten ist. Daraus folgt sofort, dass die Gesamtheit (x) nicht eins zu eins mit der Gesamtheit (u) korreliert werden kann; und ich schließe daraus, dass es wesentliche Unterschiede zwischen Totalitäten und Wertesätzen gibt, die ich bis vor kurzem nicht ergründen konnte.
Jetzt muss ich Sie um Verzeihung bitten, dass Sie sich mit dieser Frage so viel Zeit genommen haben. Ich bestätige den Eingang Ihrer freundlichen Zeilen vom 8. Dezember und versichere Ihnen, dass nichts mir mehr Freude bereiten kann, als das Glück zu haben, bei Ihnen Interesse für bestimmte Analysefragen zu wecken.
- G. Cantor

Dedekinds Notizen aus dieser Zeit verdeutlichen die Chronologie der Ereignisse:

Braunschweig, 7. Dezember 1873
Cantor teilt mir einen strengen Beweis mit, der am selben Tag gefunden wurde, dass die Gesamtheit aller positiven Zahlen ω <1 nicht eins zu eins mit der Gesamtheit (n) korreliert werden kann.
Ich beantwortete diesen Brief, der am 8. Dezember einging, am selben Tag mit Glückwünschen für den schönen Erfolg. Gleichzeitig formuliere ich den Kern des Beweises viel einfacher (was immer noch ziemlich kompliziert war).
- Richard Dedekind

Mengenlehre

Die Mengenlehre, die von der Stanford Encyclopaedia of Philosophy als „eine der größten Errungenschaften der modernen Mathematik“ beschrieben wird, wurde allgemein von der Arbeit von Cantor in den Jahren 1873 bis 1884 begründet. Die Ursprünge der Mengenlehre gehen insbesondere auf eine einzige Veröffentlichung zurück, die 1874 von Cantor mit dem Titel Über eine Eigenschaft des Begrenzten aller reellen algebraischen Zahlen veröffentlicht wurde („Über eine Eigenschaft der Sammlung aller reellen algebraischen Zahlen“). Das grundlegende und folgenreichste Ergebnis ist die Unzählbarkeit der reellen Zahlen und folglich die Erfindung einer Unterscheidung zwischen Zahlen, die zum „Kontinuum“ gehören, und solchen, die zu einer „Sammlung wie der Gesamtheit der reellen algebraischen Zahlen“ gehören. . Der Artikel erschien im Journal für die reine und angewandte Mathematik, kurz bevor Cantor 30 Jahre alt wurde. So schrieb er etwa zwei Wochen nach Eintreffen seines Beweises an Dedekind:

Berlin, 25. Dezember 1873
"..Obwohl ich das Thema, das ich kürzlich zum ersten Mal mit Ihnen besprochen habe, noch nicht veröffentlichen wollte, wurde ich dennoch unerwartet dazu veranlasst. Ich teilte Herrn Weierstrass am 22. meine Ergebnisse mit; es war jedoch keine Zeit schon am 23. hatte ich das Vergnügen, ihn zu besuchen, um ihm die Beweise mitzuteilen. Er war der Meinung, ich müsse die Sache zumindest insoweit veröffentlichen, als es die Algebra betrifft Also schrieb ich eine kurze Abhandlung mit dem Titel: Auf einer Eigenschaft der Menge aller reellen algebraischen Zahlen und schickte sie an Professor Borchardt, um für die Zeitschrift für Mathematik berücksichtigt zu werden.
Wie Sie sehen werden, haben Ihre Kommentare (die ich sehr schätze) und Ihre Art, einige der Punkte zu formulieren, mir sehr geholfen. "
- G. Cantor

Auf fünf kurzen Seiten präsentiert Cantors Artikel drei wichtige Ergebnisse:

  1. Die Menge der reellen algebraischen Zahlen ist zählbar. und
  2. In jedem Intervall [a, b] gibt es unendlich viele Zahlen, die in keiner Sequenz enthalten sind; und als Folge davon
  3. Die Menge der reellen Zahlen ist unzählig unendlich;

Der Rest dieses Artikels ist der Erläuterung der Auswirkungen des dritten Ergebnisses auf die Unzählbarkeit reeller Zahlen gewidmet. Dazu beginnen wir mit einigen grundlegenden Konzepten.

Was ist ein Set?

„Ein Set ist ein Many, das sich als One verstehen lässt“ - Georg Cantor

Eine Menge ist eine Sammlung von Elementen. Die Menge bestehend aus den Zahlen 3,4 und 5 wird mit {3, 4, 5} bezeichnet. Bei größeren Mengen wird der Einfachheit halber häufig ein Auslassungszeichen verwendet, wenn der Leser die fehlenden Elemente leicht erraten kann. Die ursprüngliche Definition von Cantor für ein „Aggregat“ (Set) lautete übersetzt wie folgt:

Cantors Definition eines Sets
Unter einer Menge ist jede Ansammlung in ein ganzes M bestimmter und getrennter Gegenstände unserer Intuition oder unseres Denkens zu verstehen. Diese Objekte werden die "Elemente" von M genannt.

Zählbarkeit

Eine abzählbare Menge ist eine Menge mit der gleichen Kardinalität (Anzahl der Elemente) wie eine Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen.

Die Eigenschaft der Zählbarkeit spielt in der Mengenlehre eine wichtige Rolle. Eine intuitive Interpretation der Zählbarkeit ist "Listbarkeit", dh die Elemente einer Menge können in einer Liste notiert werden. Die am besten abzählbare Menge sind die natürlichen Zahlen ℕ, da die Elemente von ℕ die Zählzahlen selbst sind (1,2,3,…). Wie wir wissen, sind sie unendlich zahlreich und werden daher als "abzählbar unendlich" oder "denumerierbar" bezeichnet. Für andere Mengen bedeutet formal mit der Aussage, dass eine Menge zählbar ist, dass die Elemente der Menge in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit Elementen der Menge natürlicher Zahlen ℕ gebracht werden können, d. H. Dass:

Zählbare Sätze
Eine Menge S ist zählbar, wenn eine injizierende Funktion f von S zu den natürlichen Zahlen ℕ = {1,2,3, ...} existiert. Wenn ein solches f gefunden werden kann, das auch surjektiv (und daher bijektiv) ist, dann wird S eine abzählbar unendliche Menge oder eine denumerierbare Menge genannt.
Zum Beispiel für die Menge der geraden Zahlen (2n | n ∈ ∈):
    2 4 6 8 10 ... 2n
    ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
    1 2 3 4 5 ... n
Wir sehen, dass die Elemente der beiden Mengen in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zueinander gebracht werden können, und so können wir feststellen, dass die Menge der geraden Zahlen auch zählbar ist.

Die Zählbarkeitseigenschaft ermöglicht es, Mengen in Bezug auf die Anzahl der enthaltenen Elemente zu vergleichen, ohne tatsächlich etwas zu zählen, und auf diese Weise Rückschlüsse auf die relativen Größen sowohl endlicher als auch unendlicher Mengen zu ziehen. Lassen Sie uns aus praktischen Gründen den endlichen Fall anhand eines Klassenzimmers mit 100 Plätzen veranschaulichen. Gefüllt mit Schülern kann man einen Rückschluss auf die Größe der Gruppe von Schülern im Verhältnis zur Größe der Gruppe von Sitzen ziehen. Wenn Plätze frei sind, ist die Anzahl der Plätze größer als die Anzahl der Schüler. Wenn keine Plätze frei sind und einige Schüler stehen, ist die Anzahl der Schüler größer als die der Sitze usw.

Die Zählbarkeit rationaler Zahlen (1873)

Cantors erste veröffentlichte Untersuchung zur Zählbarkeit von Mengen fand 1873 statt, als er bewies, dass die rationalen Zahlen ℚ (Brüche / Verhältnisse) zählbar sind. Sein ziemlich eleganter und intuitiver Beweis lautete wie folgt:

Beweis der Zählbarkeit der rationalen Zahlen ℚ
Nehmen wir zunächst an, dass die Menge der rationalen Zahlen numbers zählbar ist. Um diese Behauptung zu beweisen, ordnen wir alle rationalen Zahlen (Verhältnisse natürlicher Zahlen) in einer unendlichen Tabelle als solche an:
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ...
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ...
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 ...
4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ...
5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ...
... ... ... ... ...
Beginnen Sie in der oberen linken Ecke und bewegen Sie sich in einem Winkel von 45 Grad durch die Diagonalen von links nach rechts, beginnend mit 1/1, dann 1/2 und 2/1, dann 3/1, 2/2 und 1/3 und so weiter auf. Notieren Sie sich jede neue Nummer, die Sie stoßen. Sie erhalten folgende Bestellung:
1/1, 1/2, 2/1, 3/1, 2/2, ...
 1 2 3 4 5 ...
Das ist nicht nur eine gute Reihenfolge, sondern auch eine Eins-zu-eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge. Dies beweist die Zählbarkeit der rationalen Zahlen ℚ.

Die Zählbarkeit von reellen algebraischen Zahlen (1874)

Ein Jahr später zeigte Cantor in seiner Arbeit von 1884, dass die realen algebraischen Zahlen zählbar sind. Reelle algebraische Zahlen sind reelle Zahlen ω, die Gleichungen der folgenden Form erfüllen: aₒ ωᵘ + a¹ωᵘ⁻¹ +… + aᵤ = 0. Das heißt, reelle algebraische Zahlen sind Wurzeln von reellen Polynomen ungleich Null. Sie sind zählbar, d.h.

Die Zählbarkeit von reellen algebraischen Zahlen
Die Sammlung aller algebraischen Realzahlen kann als unendliche Folge geschrieben werden.

Cantor zeigte es in seinem Aufsatz von 1874 mit folgendem Beweis:

Beweis der Zählbarkeit von reellen algebraischen Zahlen (1874)
Für jede Polynomgleichung der Form

   aₒωᵘ + a₁ωᵘ⁻¹ +… + aᵤ = 0
Definieren Sie bei ganzzahligen Koeffizienten a den Index als die Summe der absoluten Werte der Koeffizienten plus dem Grad der Gleichung:
| aₒ | + | a₁ | + ... + | aᵤ |
Die einzige Gleichung von Index 2 ist ω = 0, daher ist seine Lösung 0 die erste algebraische Zahl. Die vier Gleichungen von Index 3 sind 2x = 0, x + 1 = 0, x - 1 = 0 und x2 = 0. Sie haben Wurzeln 0, –1, 1, also hat er die neuen Werte –1 und 1 als eingeschlossen zweiter und dritter Eintrag in seiner Liste der algebraischen Zahlen.
Beachten Sie, dass es für jeden Index nur endlich viele Gleichungen gibt und dass jede Gleichung nur endlich viele Wurzeln hat. Durch Auflisten der neuen Wurzeln nach Indexreihenfolge und durch Erhöhen der Größe in jedem Index wird eine systematische Methode zum Auflisten aller algebraischen Zahlen erstellt. Die Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen hat wie bei den Rationalen bewiesen, dass die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar unendlich sein muss.

Die Unzählbarkeit reeller Zahlen (1874)

Cantors fruchtbarste Anwendung der Zählbarkeit als Konzept fand sich im dritten Ergebnis seiner Abhandlung von 1874, als er die Unzählbarkeit der reellen Zahlen demonstrierte - die erste Menge, die diese Eigenschaft nicht aufwies. Eine reelle Zahl ℝ ist ein Wert einer kontinuierlichen Größe, die eine Entfernung entlang einer Linie darstellen kann. Jede reelle Zahl kann durch eine möglicherweise unendliche Dezimaldarstellung bestimmt werden, wie z. 8.632, 0.00001, 10.1 usw., wobei jede aufeinanderfolgende Ziffer in Einheiten von einem Zehntel der Größe der vorherigen Ziffer gemessen wird. Die Aussage, dass die reellen Zahlen unzählig sind, entspricht der Aussage:

Die Unzählbarkeit reeller Zahlen
Bei jeder Folge von reellen Zahlen und jedem Intervall [α ... β] kann man eine Zahl η in [α ... β] bestimmen, die nicht zur Folge gehört. Man kann also unendlich viele solcher Zahlen η in [α ... β] bestimmen.

Wie aus seinem Briefwechsel mit Dedekind im Jahr 1873 hervorgeht, wissen wir, wie Cantor auf das bedeutsame Ergebnis hingearbeitet hat. Sein ursprünglicher Beweis (Cantors erster Beweis der Unzählbarkeit) lautete wie folgt und basiert auf dem Bozen-Weierstraß-Theorem:

Beweis der Unzählbarkeit der reellen Zahlen ℝ (1874)
Angenommen, wir haben eine unendliche Folge von reellen Zahlen,
(i) ω₁, ω₂, ... ωᵥ, ...
wobei die Sequenz nach einem beliebigen Gesetz erzeugt wird und die Nummern voneinander verschieden sind. Dann kann in jedem gegebenen Intervall (α ... β) eine Zahl η (und folglich unendlich viele solcher Zahlen) so bestimmt werden, dass sie in der Reihe (i) nicht vorkommt.
Um dies zu beweisen, gehen wir zum Ende des Intervalls [α ... β], das uns willkürlich gegeben wurde und in dem α <β ist. Die ersten beiden Zahlen unserer Folge (i), die innerhalb dieses Intervalls liegen (mit Ausnahme der Grenzen), können mit α ', β' bezeichnet werden, wobei α '<β' gilt. In ähnlicher Weise bezeichnen wir die ersten beiden Zahlen unserer Sequenz, die im Inneren von (α '... β') liegen, mit α ", β" und lassen α "<β". Konstruieren Sie auf die gleiche Weise das nächste Intervall und so weiter.
Hier sind also α ', α "... per Definition bestimmte Zahlen unserer Folge (i), deren Indizes stetig zunehmen. Gleiches gilt für die Folge β', β", ...; Weiterhin nehmen die Zahlen α ', α "... immer zu, während die Zahlen β', β", ... immer abnehmen. Von den Intervallen [& agr; ... & bgr;], [& agr; '... & bgr;'], [& agr; "... & bgr;"] schließt jedes alle folgenden ein. Hier sind nur zwei Fälle denkbar.
Im ersten Fall ist die Anzahl der so gebildeten Intervalle endlich. In diesem Fall sei der letzte von ihnen (αᵛ ... βᵛ). Da sein Inneres höchstens eine Zahl der Folge (i) sein kann, kann aus diesem nicht in (i) enthaltenen Intervall eine Zahl η gewählt werden, wodurch der Satz bewiesen wird.
Im zweiten Fall ist die Anzahl der konstruierten Intervalle unendlich. Dann, weil sie immer größer werden, ohne ins Unendliche zu wachsen, haben die Zahlen α, α ', α ", ... einen bestimmten Grenzwert αʷ. Dasselbe gilt für die Zahlen β, β', β",. .. weil sie immer kleiner werden. Sei ihr Grenzwert βʷ. Ist αʷ = βʷ, so kann man sich leicht davon überzeugen, wenn man nur auf die Definition der Intervalle zurückblickt, dass die Zahl η = αʷ = βʷ nicht in unserer Folge (i) enthalten sein kann. Wenn jedoch αʷ <βʷ ist, erfüllt jede Zahl η im Inneren des Intervalls [αʷ ... βʷ] sowie seine Grenzen die Anforderung, dass sie nicht in der Folge (i) enthalten ist.

Kantors Diagonale Argument (1891)

17 Jahre später lieferte Cantor einen einfacheren Beweis unter Verwendung des so genannten diagonalen Arguments von Cantor, das erstmals 1891 in einer Abhandlung mit dem Titel Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre veröffentlicht wurde. Ich beziehe es hier wegen seiner Eleganz und Einfachheit ein. Verallgemeinert lautet das mittlerweile berühmte Argument wie folgt:

Beweis: Kantors diagonales Argument (1891)
Cantor betrachtet in seiner Arbeit die Menge M aller unendlichen Folgen der Binärzahlen m und w. Sequenzen wie:
E₁ = (m, m, m, m, m, ...)
E & sub2; = (w, w, w, w, w, ...)
E & sub3; = (m, w, m, w, m, ...)
E₄ = (w, m, w, m, w, ...),
E₅ = (m, m, w, w, m, ...)
Cantor behauptet, dass es eine Menge M gibt, die nicht den "Atem" der Reihen E & sub1 ;, E & sub2 ;, E & sub3; ... hat, was bedeutet, dass M eine andere Größe hat als die Summe jeder Sequenz En, dh, obwohl M aus allen besteht Aufgrund der unendlichen Folgen der Binärzahlen m und w kann er immer eine neue Folge E₀ konstruieren, die „sowohl ein Element von M als auch kein Element von M ist“.
Die neue Folge E₀ wird unter Verwendung der Komplemente einer Ziffer aus jeder Folge E₁, E₂,… En konstruiert. Ein Komplement einer Binärzahl ist definiert als der Wert, der durch Invertieren der Bits in der Darstellung der Zahl erhalten wird (Vertauschen von m gegen w und umgekehrt). Die neue Folge besteht also aus dem Komplement der ersten Ziffer aus der Folge E₁ (m), dem Komplement der zweiten Ziffer aus der Folge E₂ (w), dem Komplement der dritten Ziffer aus der Folge E₃ (m) und so weiter bis schließlich das Komplement der n-ten Ziffer aus der Folge En. Aus den obigen Beispielsequenzen würde die neue Sequenz E₀ dann lauten:
E₀ = (w, m, w, w, w, ...)
Aufgrund seiner Konstruktion unterscheidet sich E construction von jeder Sequenz En, da sich ihre n-ten Ziffern unterscheiden. Daher kann E₀ nicht eine der unendlichen Folgen in der Menge M sein.

Angewandt, um die Unzählbarkeit der reellen Zahlen zu beweisen ℝ:

Beweis der Unzählbarkeit der reellen Zahlen ℝ
Dieser Beweis ist widersprüchlich, d. H. Wir nehmen an, dass die reellen Zahlen ℝ abzählbar sind und einen Widerspruch herleiten. Wenn die Realzahlen abzählbar sind, können sie aufgelistet werden:
1. 657.853260 ...
2. 2.313333 ...
3. 3.141592 ...
4. .000307 ...
5. 49.494949 ...
6. .873257 ...
...
Um einen Widerspruch zu erhalten, genügt es zu zeigen, dass es ein reales α gibt, das in der Liste fehlt. Die Konstruktion eines solchen α funktioniert, indem seine erste Dezimalstelle von der ersten Dezimalstelle der ersten Nummer der Liste verschieden gemacht wird, indem die zweite Dezimalstelle von der zweiten Dezimalstelle der zweiten Nummer verschieden gemacht wird, und indem im allgemeinen die Die n-te Dezimalstelle unterscheidet sich von der n-ten Dezimalstelle der n-ten Zahl in der Liste.
Noch einfacher ist es, dass wir für unser α die n-te Dezimalstelle 1 bilden, es sei denn, es ist bereits 1, in diesem Fall machen wir es 2. Durch diesen Vorgang erhalten wir für unsere beispielhafte Liste von Zahlen:
α = .122111 ...
Was per Konstruktion kein Mitglied der von uns erstellten Liste sein kann. Und so kann unsere Liste aller Realzahlen nicht jede Zahl enthalten und muss daher unzählig sein.

Die Schlussfolgerungen beider Beweise (1874 und 1891) sind die gleichen - obwohl sowohl die natürlichen Zahlen als auch die reellen Zahlen unendlich zahlig sind und so für immer weitergehen, gibt es „nicht genug“ natürliche Zahlen, um eins zu eins zu erstellen Korrespondenz zwischen ihnen und den reellen Zahlen. Mit anderen Worten, Cantors brillante Entdeckung zeigte rigoros, dass die Unendlichkeit in verschiedenen Größen vorliegt, von denen einige größer sind als andere.

Es gibt mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen.

Aus Cantors Korrespondenz mit Dedekind zum Zeitpunkt der Vorlage des Originalnachweises im Jahr 1874 geht hervor, dass er bereits über diese besondere Implikation des Ergebnisses nachgedacht hat, obwohl er dies nach bekannten Aufzeichnungen offenbar nicht ausdrücklich behauptet Dedekind. Wir sehen jedoch in seinen Briefen aus der gleichen Zeit Spuren seines brillant kreativen und fragenden Denkens, wie in diesem Auszug aus dem Januar 1874 über die Größe von Sätzen unterschiedlicher Dimensionen:

Halle, 5. Januar 1874
"... kann eine Fläche (z. B. ein Quadrat, das die Grenze enthält) eindeutig auf eine Linie (z. B. ein gerades Liniensegment, das die Endpunkte enthält) bezogen werden, so dass es für jeden Punkt auf der Fläche einen entsprechenden Punkt der Linie und gibt Umgekehrt gibt es für jeden Punkt der Linie einen entsprechenden Punkt der Oberfläche? Die Antwort auf diese Frage scheint mir im Moment noch sehr schwierig zu sein - obwohl man auch hier so gezwungen ist, nein zu sagen, dass man es möchte den Beweis für fast überflüssig zu halten. "
- G. Cantor

Wenn Dedekind nicht direkt auf den Vorschlag antwortet, wiederholt Cantor die Anfrage einige Wochen später und weist darauf hin, dass er sich der bedeutsamen Auswirkungen bewusst ist, die dies hat:

Halle, 28. Januar 1874
"..Wenn Sie herumkommen, um mir zu antworten, wäre ich dankbar zu hören, ob Sie die gleichen Schwierigkeiten hatten, wie ich, die Frage zu beantworten, die ich Ihnen im Januar über die Korrelation einer Linie und einer Oberfläche sandte, oder ob ich täusche ich selbst. In Berlin sagte mir ein Freund, dem ich das gleiche Problem vorstellte, das Thema sei etwas absurd, weil es selbstverständlich ist, dass zwei unabhängige Variablen nicht auf eine reduziert werden können. "
- G. Cantor

Nach den uns bekannten Aufzeichnungen würde es drei Jahre dauern, bis Dedekind und Cantor sich erneut zu diesem Thema äußerten. Aus seinen Briefen geht klar hervor, dass Cantors Raffinesse in Bezug auf die Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen unendlichen Mengen zu diesem Zeitpunkt gestiegen ist und dass sein Verständnis der Auswirkungen im Jahr 1877 viel tiefer geht als zuvor:

Halle, 20. Juni 1877
"..Ich möchte wissen, ob Sie ein Inferenzverfahren, das ich benutze, für arithmetisch streng halten.
Das Problem besteht darin, zu zeigen, dass Oberflächen, Körper, ja sogar kontinuierliche Strukturen mit p-Dimensionen eins zu eins mit kontinuierlichen Linien, dh mit Strukturen mit nur einer Dimension, korreliert werden können - so dass Oberflächen, Körper, ja sogar kontinuierliche Strukturen mit p-Dimensionen haben die gleiche Kraft wie Kurven. Diese Vorstellung scheint derjenigen zu widersprechen, die besonders bei den Vertretern der modernen Geometrie vorherrscht, die von einfach unendlich, doppelt, dreifach sprechen. . . ρ-fache unendliche Strukturen. (Manchmal kommt man sogar auf die Idee, dass die Unendlichkeit von Punkten einer Oberfläche oder eines Körpers dadurch erhalten wird, dass man die Unendlichkeit von Punkten einer Linie quadriert oder würfelt.)
- G. Cantor

Unendliche Mengen

„Ich protestiere gegen die Verwendung der unendlichen Größe als etwas Vollendetes, was in der Mathematik niemals zulässig ist. Unendlichkeit ist nur eine Art zu sprechen. “
- C. F. Gauss, 1831

Die Elemente aller Sets, denen wir bisher begegnet sind, waren unendlich zahlreich, was bedeutet, dass sie für immer weitergehen. Wir haben jedoch auch gezeigt, dass einer von ihnen nicht dieselbe „Größe“ hat oder zumindest nicht mit den natürlichen Zahlen in Eins-zu-Eins-Entsprechung gebracht werden kann. Vielleicht noch paradoxer: Wir haben gesehen, dass eine unendliche Teilmenge (z. B. die geraden Zahlen) einer unendlichen Menge (die natürlichen Zahlen) in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung umgewandelt werden kann, was zu einer besonderen Eigenschaft von unendlichen Mengen führt, nämlich Das:

Definition einer unendlichen Menge
Eine Menge A ist nur dann unendlich, wenn es eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen A und einer Menge X gibt, die eine geeignete Teilmenge von A ist.

Diese Eigenschaft, die von Dedekind geprägt wurde, erscheint paradox angesichts der intuitiven Vorstellung, dass es immer mehr Elemente in einem Ganzen geben muss als in einigen Teilen davon (Euklids sogenannter Common Notion 5). Wenn zwei unendliche Mengen die gleiche Anzahl von Elementen enthalten, bedeutet dies, dass es Folgendes gibt:

  1. Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen ihnen; und
  2. Die Größe eines Ganzen muss größer sein als die eines seiner Teile;

Dann kann die Anzahl der Elemente in einer unendlichen Menge nicht als Maß für ihre Größe angesehen werden. Es lässt vermuten, dass die Elemente einer unendlichen Menge in gewisser Weise „ohne Zahl“ sind, da man niemals alle zählen kann, aber auch, weil die Vorstellung einer Zahl als Maß für die Größe in diesem Bereich wenig Sinn macht - alle unendlich Sätze scheinen die gleiche Größe zu haben, wenn die Eins-zu-Eins-Entsprechung als Hinweis auf die Gleichheit in Bezug auf die Größe eines Satzes angesehen wird.

Kardinalzahlen

Wie untersucht man also die Eigenschaften und Unterschiede von unendlichen Mengen? Nach seiner Entdeckung der Existenz auf nicht denumerierbaren unendlichen Mengen im Jahr 1874 wandte sich Cantor 1878 einer allgemeineren Untersuchung dessen zu, was er Kräfte oder Kardinalzahlen nannte - der Untersuchung der Größen von Mengen. Die Kardinalität der Menge A wird normalerweise mit | A | bezeichnet, manchmal mit card (A).

Kantors Definition der Kardinalzahlen
Wir werden mit dem Namen 'Kraft' oder 'Kardinalzahl' von M den allgemeinen Begriff bezeichnen, der durch unser aktives Denkvermögen aus der Menge M hervorgeht, wenn wir von der Natur seiner verschiedenen Elemente m und der abstrahieren Reihenfolge, in der sie angegeben sind.

Einfacher ausgedrückt sind Kardinalzahlen eine Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen, die zum Messen der Kardinalität (Größe) von Mengen verwendet werden. Unter Verwendung der Kardinalitätseigenschaft war Cantor in der Lage, die Frage, die er Dedekind wiederholt stellte, förmlich zu beantworten, nämlich ob ein Quadrat auf eine Linie mit einer Eins-zu-Eins-Entsprechung der Punkte auf jedem Punkt abgebildet werden konnte, d.h.

Satz: Die Menge set² aller geordneten Paare reeller Zahlen (dh der reellen Ebene) hat die gleiche Größe wie ℝ.

Das Theorem ist aus Cantors Arbeit Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre von 1878 hervorgegangen und kann auf folgende / moderne Weise elegant bewiesen werden (zugeschrieben von Julius König):

Beweisen Sie, dass | ℝ² | = | ℝ |
Es genügt zu beweisen, dass die Menge aller Paare (x, y), 0 
x = 0,3 01 2 007 08 ...
y = 0,009 2 05 1 0008 ...
Beachten Sie, dass die Ziffern von x und y in Gruppen unterteilt wurden, indem immer die nächste Ziffer ungleich Null (einschließlich) angegeben wird. Nun ordnen wir (x, y) die Zahl z ∈ (0,1) zu, indem wir die erste x-Gruppe, danach die erste y-Gruppe, dann die zweite x-Gruppe usw. in unserer Tabelle aufschreiben Zum Beispiel erhalten wir:
z = 0,3 009 01 2 2 05 007 1 08 0008 ...
Da weder x noch y ab einem bestimmten Punkt nur noch Nullen aufweisen, stellen wir fest, dass der Ausdruck für z wieder eine nicht terminierende Dezimalerweiterung ist. Umgekehrt können wir aus der Ausdehnung von z sofort das Vorbild (x, y) ablesen und die Karte ist bijektiv.

Paradoxerweise kann die zweidimensionale Ebene ℝ² also tatsächlich bijektiv (mit Eins-zu-Eins-Entsprechung) auf die eindimensionale Linie ℝ abgebildet werden. Induktiv können wir das Ergebnis auf höhere Dimensionen erweitern. Aufgrund seiner eingängigen Natur kündigte Cantor Folgendes an:

Halle, 29. Juni 1877
"..Bitte entschuldigen Sie meinen Eifer für das Thema, wenn ich so viele Anforderungen an Ihre Freundlichkeit und Geduld stelle. Die Mitteilungen, die ich Ihnen kürzlich gesendet habe, sind sogar für mich so unerwartet, so neu, dass ich keine Ruhe haben kann, bis ich sie erhalte von dir, verehrter Freund, eine Entscheidung über ihre Richtigkeit. Solange du mir nicht zugestimmt hast, kann ich nur sagen: je le vois, mais je ne le crois pas. "
"Ich sehe es, aber ich glaube es nicht".

Unendliche Kardinalzahlen

Als Cantor sich 1878 dann dem Studium von unendlichen Kardinalzahlen zuwandte, war ihm bereits die Existenz von zwei solchen Mächtigkeiten bewusst: Punktmengen (z. B. die natürlichen Zahlen) und das Kontinuum (z. B. reelle Zahlen). In seiner Abhandlung von 1883 mit dem Titel Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre („Grundlagen einer allgemeinen Theorie der Mannigfaltigkeiten“) führte er eine Unterscheidung zwischen zwei Unendlichkeiten ein, der transfiniten und der absoluten:

Transfinite Zahlen sind Zahlen, die insofern "unendlich" sind, als sie größer sind als alle endlichen Zahlen, aber nicht unbedingt absolut unendlich.

Das ebenfalls von Cantor eingeführte absolute unendliche Ω kann als eine Zahl betrachtet werden, die größer ist als jede denkbare oder unvorstellbare Größe, sei es endlich oder transfinit. Transfinite Zahlen sind in ihrer Größe vergrßerbar, während das Absolute nicht vergrßerbar ist. Die besonderen transfiniten Zahlen, an die er dachte, waren diejenigen, die er durch seine Studien über die Zählbarkeit einiger unendlicher Mengen (z. B. der natürlichen Zahlen) und die Unzählbarkeit anderer Mengen (z. B. der reellen Zahlen) bemerkte. Er bezeichnete ihre Kardinalitäten ℵ₀ (aleph nichts) und ℵ₁ (aleph eins) als die ersten beiden "Ordnungen der Unendlichkeit", beide kleiner als die absolute Unendlichkeit Ω.

Die Kontinuumshypothese (1878)

Es gibt keine unendlichen Kardinalzahlen, die genau zwischen der Kardinalität der natürlichen Zahlen ℵ₀ und der Kardinalität der reellen Zahlen ℵ₁ liegen.

Keine Einführung in Cantor wäre vollständig, ohne die berüchtigte Hypothese zu diskutieren, die für immer mit seinem Lebenswerk, Cantors Kontinuumshypothese (CH), verbunden ist. Ein Großteil seiner Arbeit über die Vermutung wurde in der sechsteiligen Abhandlung Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten in der Zeitschrift Mathematische Annalen zwischen 1879 und 1884 veröffentlicht.

Georg Cantor (links) und seine sechsteilige Abhandlung Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten in der Zeitschrift Mathematische Annalen.

Sein erster Auftritt erfolgte jedoch in der Veröffentlichung Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre von 1878, in der er Folgendes festhält:

Es stellt sich die Frage, in welcher Beziehung die verschiedenen Teile einer durchgehenden Geraden, d. H. Die verschiedenen unendlichen Mannigfaltigkeiten von Punkten, die in ihr aufgefasst werden können, zu ihren Kräften stehen.
Lösen wir dieses Problem von seiner geometrischen Gestalt und verstehen durch eine lineare Mannigfaltigkeit reeller Zahlen jede denkbare Gesamtheit von unendlich vielen unterschiedlichen reellen Zahlen. Dann stellt sich die Frage, in wie viele und welche Klassen die linearen Mannigfaltigkeiten fallen, wenn Mannigfaltigkeiten mit der gleichen Leistung in die gleiche Klasse und Mannigfaltigkeiten mit unterschiedlicher Leistung in verschiedene Klassen eingeteilt werden.
Durch ein induktives Verfahren, dessen genauere Darstellung hier nicht gegeben wird, wird der Satz aufgestellt, dass die Anzahl der Klassen linearer Mannigfaltigkeiten, die dieses Prinzip der Sortierung hervorruft, endlich ist und in der Tat zwei beträgt.

Wir kennen die Kardinalzahlen 0, 1, 2,. . . und die unendliche Kardinalzahl ℵ₀, und außerdem ist die Kardinalität der reellen Zahlen größer als ℵ₀. Cantors Behauptung in seiner Aussage zur Kontinuumshypothese lautet, dass die Kardinalität der reellen Zahlen die nächste transfinite Zahl nach ℵ₀ ist, d. H

c = | ℝ | = ℵ₁

Dies bedeutet, dass keine Menge eine Kardinalität haben kann, die größer als die der natürlichen Zahlen ℵ₀ und kleiner als c ist, und dass c die Kardinalität der reellen Zahlen ist. In diesem Sinne liegt jenseits einer abzählbaren Menge von anderen Kardinalzahlen als sich selbst und kann nur durch Addition anderer Kardinalzahlen mit der Potenz von & sub1; "erreicht" werden.

Versuchte Beweise

Cantor verbrachte viele der verbleibenden Jahre seines Lebens damit, den Beweis zu erbringen, dass die Kontinuumshypothese wahr ist. Seine direkte Strategie bestand darin, die abgeleiteten Mengen P⁽ⁿ⁾ einer Punktmenge P zu verwenden, um ihre Kardinalität zu messen. Wie Bertrand Russell es ausdrückte:

Im Volksmund besteht die erste Ableitung aus allen Punkten, in deren Nachbarschaft eine unendliche Anzahl von Begriffen der Sammlung aufgeschüttet sind; und nachfolgende Derivate ergeben gleichsam unterschiedliche Konzentrationsgrade in jeder Nachbarschaft. Es ist daher leicht zu erkennen, warum Derivate für die Kontinuität relevant sind. Um kontinuierlich zu sein, muss eine Sammlung so konzentriert wie möglich in jedem Viertel sein, in dem sich Begriffe der Sammlung befinden.

Da der Prozess der Ableitung nicht unbedingt nach unendlich vielen Iterationen endet, setzte Cantor den Prozess ins Transfinite fort. Als die Strategie scheiterte, wandte sich Cantor seiner sogenannten „indirekten Strategie“ zu, die das Hauptthema der 1883 veröffentlichten Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre ist. Die Strategie basierte auf seiner Theorie von Potenzen von Kardinalzahlen, dh bei der Einführung einer Klasse von transfiniten Zahlen, mit denen die Größe einer unendlichen Menge gezählt werden kann. Die Kontinuumshypothese in diesem System würde gezeigt, indem bestimmt wird, wo die Potenz des Kontinuums auf der „Skala“ der transfiniten Zahlen liegt - dass es die erste nicht denumerierbare transfinite Zahl war.

Cantor würde viele Jahre damit verbringen, die Kontinuumshypothese zu lösen. Als er eines Tages glaubte, einen Beweis für seine Wahrheit gefunden zu haben, fand er am nächsten Tag einen Beweis für seine Lüge: Dann fand er wieder einen Beweis für seine Wahrheit, um später zu erkennen, dass alle seine Beweise ungültig waren.

Psychische Gesundheit

Cantor erlitt seinen ersten schweren Nervenzusammenbruch im Mai 1884, zehn Jahre nach der Veröffentlichung seines ersten Beweises für die Unzählbarkeit der reellen Zahlen. Die meisten Historiker glauben, der Zusammenbruch sei auf einen anhaltenden Streit zurückzuführen, den Cantor mit Leopold Kronecker an der Universität Berlin geführt hatte, zusammen mit der offensichtlichen Unlösbarkeit der Kontinuumshypothese. Wie wir aus Briefen lesen können, die Cantor an den schwedischen Mathematiker Mittag-Leffler sandte, ereignete sich Cantors erster Zusammenbruch, als er von einer freudigen Reise nach Paris zurückkehrte, wo er unter anderen Mathematikern Henri Poincaré traf. Cantor schreibt, dass er Poincaré sehr mochte und war froh zu erfahren, dass der große Mann seine Transfinite-Set-Theorie und ihre Anwendungen verstand. Darüber hinaus schreibt er, dass er Zeit damit verbracht habe, Galerien und Museen zu besuchen, und sich seiner Liebe zur Oper und zum Theater hingegeben habe. Der Zusammenbruch des Kantors ereignete sich Berichten zufolge kurz nach seiner Rückkehr nach Deutschland, um sich um Familienangelegenheiten zu kümmern.

Wir wissen nicht, was den Zusammenbruch von Cantor verursacht hat. Arthur Schoenflies argumentiert, dass die Verbitterung von Cantor mit der enormen Opposition gegen seine Arbeit, die von seinem ehemaligen Professor Leopold Kronecker in Berlin verfochten wurde, der Haupttreiber seiner Not war. Kronecker war mehr als jeder andere professionelle Mathematiker zu dieser Zeit der lautstärkste Gegner von Cantors Ideen, die bis in Cantors Zeitschrift von 1874 zurückreichen. Cantor befürchtete, Kronecker würde die Veröffentlichung verzögern, da er einen von Heines Artikeln verfasst hatte . Aufgrund dieser Bedenken ließ Cantor auf Empfehlung von Weierstrass sein Unzählbarkeitstheorem aus dem ursprünglichen Entwurf des Artikels heraus und fügte es erst später beim Korrekturlesen als Bemerkung am Ende seiner Einführung hinzu. Darüber hinaus soll der Einfluss von Kronecker Cantor veranlasst haben, Dedekinds Version des Beweises der Zählbarkeit der reellen Zahlen zu verwenden, aber das „Kontinuitätsprinzip“ von Dedekind, das Kronecker nicht akzeptierte, absichtlich wegzulassen. Berichten zufolge erwähnte jeder einzelne der 52 Briefe, die Cantor Mittag-Leffler 1884 schickte, Kronecker mit Namen.

Kronecker widersprach grundlegend dem Ansatz von Cantors Arbeiten zur Mengenlehre, da er unter anderem die Existenz von Mengen behauptete, die bestimmte Eigenschaften erfüllten, ohne Beispiele für bestimmte Mengen zu nennen, deren Mitglieder diese Eigenschaften erfüllten. Kronecker ließ auch mathematische Konzepte nur dann zu, wenn sie in endlichen Schritten aus den natürlichen Zahlen konstruiert werden konnten, die er für gegeben hielt. Kronecker war Kantorprofessor in Berlin und leitete dort bis zu seinem Tod im Jahr 1891 die mathematische Fakultät. Jedes Mal, wenn sich Kantor für eine Stelle in Berlin bewarb, wurde er abgelehnt, obwohl er in mathematischen Kreisen ein bekannter Name geworden war. Cantors Ideen, die im direkten Gegensatz zu Kroneckers stehen, haben letztendlich dazu geführt, dass Cantor als "Korruptor der Jugend" bezeichnet wurde, der "gestoppt werden muss".

Letzte Jahre

Nach seinem Krankenhausaufenthalt im Jahr 1884 gibt es keine Aufzeichnungen darüber, dass Cantor bis 1899 erneut in ein Sanatorium eingeliefert wurde. In diesem Jahr starb sein jüngster Sohn und Cantor verlor Berichten zufolge seine Leidenschaft für die Mathematik. Als Julius König 1903 ein Papier vorlegte, in dem versucht wurde, die Grundmieter der Transfinite-Set-Theorie zu widerlegen, empfand Cantor dies als schwere öffentliche Demütigung. Obwohl Ernst Zermelo weniger als einen Tag später die Ungültigkeit der Zeitung demonstrierte, blieb Cantor erschüttert und begann sogar vorübergehend, die Existenz Gottes in Frage zu stellen (Cantor war ein frommer Christ). Die Ereignisse gingen einer Reihe zusätzlicher Krankenhausaufenthalte im Abstand von zwei bis drei Jahren voraus.

Kantor im Jahr 1917

Cantor war bis zu seinem Tod an der Universität Halle, obwohl er sich weiterhin nach Stellen an der Universität Berlin erkundigte. Er verbrachte die letzten 20 Jahre seines Lebens in einer chronischen Depression und verteidigte seine kontroversen Vorstellungen über Mengenlehre und die Gültigkeit seiner Beweise, hauptsächlich gegen Kritik von anderen Mathematikern in Deutschland. Cantor ging 1913 in den Ruhestand, lebte im Ersten Weltkrieg in Armut und litt unter Unterernährung. Im Juni 1917 trat er erneut in ein Sanatorium ein, wo er schließlich am 6. Januar 1918 an einem Herzinfarkt starb. Von seiner endgültigen Aufnahme bis zu seinem Tod schrieb seine Frau immer wieder und bat darum, nach Hause kommen zu dürfen.

Paradies verloren?

1900 identifizierte der deutsche Mathematiker David Hilbert die Kontinuumshypothese als eines der 23 wichtigsten Probleme für die Gestaltung der Zukunft der Mathematik im 20. Jahrhundert. Seine Vorhersage erwies sich als richtig, da Versuche anderer Mathematiker, Cantors Vermutung zu beweisen oder zu widerlegen, zu einer der tiefsten Arbeiten in der Mengenlehre führten, die es bisher gab.

Erst 1940 bestätigte der österreichisch-ungarische Logiker Kurt Gödel die Konsistenz der Kontinuumshypothese, indem er zeigte, dass sie nicht von den anderen Axiomen der Mengenlehre widerlegt werden konnte. 23 Jahre später stellte der amerikanische Mathematiker Paul Cohen seine Unabhängigkeit fest, indem er zeigte, dass die Kontinuumshypothese nicht mit den anderen Axiomen der Mengenlehre bewiesen werden konnte. Sie zeigten mit anderen Worten, dass die Aussage c = ℵ₁ unabhängig von dem Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem ist, das allgemein als häufigste Grundlage der Mathematik anerkannt ist. Die Konsistenz und Unabhängigkeit von Cantors Vermutung bedeutete, dass es möglich war, gültige Modelle der Mengenlehre zu entwickeln, die die Kontinuumshypothese erfüllten, und andere Modelle, die dies nicht taten. Die Erkenntnis der Existenz dieser und anderer unbeweisbarer Aussagen veränderte die Natur der Mathematik als rigorose, logische Disziplin und veranlasste Hilbert 1926, zur Verteidigung der kantorianischen Mengenlehre zu verkünden:

"Aus dem Paradies, das Cantor für uns geschaffen hat, kann uns niemand vertreiben" - David Hilbert