Georg Cantor (links) und seine legendäre Publikation „Über eine bestimmte des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen“ von 1874 im Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (1874).

Die Natur der Unendlichkeit - und darüber hinaus

Eine Einführung in Georg Cantor und sein transfinites Paradies

Georg Cantor zeigte als Kind eine ausgesprochen künstlerische Ausstrahlung und war angeblich ein herausragender Geiger. Sein lateinischer Familienname "Cantor" bedeutet "Sänger" oder "Musiker". Als er 1867 - im Alter von 22 Jahren - seine Doktorarbeit an der Universität Berlin abschloss, nannte er sie In re mathematica ars propendi pluris facienda est quam solvendi, die auf Englisch lautet: „In der Mathematik ist die Kunst, Fragen zu stellen, wertvoller als Probleme zu lösen “. Später als legendär tiefer Denker bekannt, wurde Cantor der Mann, der es wagte, eine der tiefsten und grundlegendsten Fragen von allen zu stellen und zu beantworten:

Wie groß ist die Unendlichkeit?

Cantor wurde in den 1870er, 80er und 90er Jahren als unbeantwortbar angesehen und führte radikale neue Ideen zur Beantwortung dieser Frage ein, die die Mengenlehre als neuen Zweig der reinen Mathematik etablierten. Dieser Artikel möchte Ihnen seine bemerkenswerteste Arbeit und ihre Auswirkungen vorstellen.

Frühes Leben (1845–69)

Georg Cantor hatte gewissermaßen das Glück, am 3. März 1845 in Sankt Petersburg geboren worden zu sein. Seine Eltern waren Dänen. Seine Mutter Marie (Familienname Meyer) stammte aus einer Musikerfamilie russischer Herkunft, und sein Vater Georg Woldemar war ein sehr erfolgreicher Geschäftsmann, zunächst als Großhändler in St. Petersburg und später als Makler an der Börse der Stadt.

Cantors Vater und Mutter, GW und Marie Cantor

Cantor wurde stark von seinem Vater beeinflusst, einem Mann von großem kulturellen und philosophischen Interesse, der ihm während der Schul- und Universitätsjahre seines Sohnes viele wohlmeinende Ratschläge über sein Leben und seine Karriere gab. Nach einigen Berichten würde man trotz der Anerkennung der mathematischen Fähigkeiten seines Sohnes immer noch hartnäckig versuchen, seinen Sohn als vielversprechenderen Beruf als die Mathematik zum Ingenieurwesen zu zwingen.

Bildung (1860-69)

Cantors Noten im Alter von 8 Jahren, als er die St.Petri-Schule für deutschsprachige Menschen in St.Petersburg besuchte.

Cantors Schulkarriere war wie die vieler hochbegabter Mathematiker - eine frühe Anerkennung seines Talents (vor dem Alter von fünfzehn Jahren) und ein absorbierendes Interesse an seinem Studium. Bereits in Sankt Petersburg erhielt Cantor Privatunterricht. In Deutschland besuchte er zunächst eine Privatschule in Frankfurt an der nichtklassischen Darmstädter Schule, bevor er 1860 das Wiesbadener Gymnasium besuchte. Er schloss die Realschule in Darmstadt mit Auszeichnung ab und begann 1862 sein Universitätsstudium an der Höheren Gewerbschule, wo er zwei Ingenieurwissenschaften studierte Jahre vor dem Wechsel an die Eidgenössische Politechnik (ETH Zürich), um Mathematik zu studieren. Nach dem Tod seines Vaters an Tuberkulose im nächsten Jahr erhielt er eine beträchtliche Erbschaft (eine halbe Million Mark) und verlagerte sein Studium an die Universität Berlin.

Humboldt-Universität Berlin 1850 (damals Friedrich-Wilhelm-Universität)

In Berlin besuchte Cantor Vorträge von Ernst Kummer, Leopold Kronecker und Karl Weierstrass, deren Interesse an Arithmetik einen starken Einfluss auf seine frühesten Arbeiten hatte. 1866 verbrachte er das Sommersemester an der Universität Göttingen, der damaligen Welthauptstadt des mathematischen Denkens. Sowohl seine Dissertation „De aequationibus secundi gradus indeterminatis“ im Jahr 1867 als auch seine Habilitation „De Transformatione formarum ternariarum quadraticarum“ im Jahr 1869 betrachteten die Zahlentheorie, insbesondere ein herausragendes Problem, das Gauß 'Disquisitiones Arithmeticae hinsichtlich der Lösungen der unbestimmten diophantinischen Gleichung ax² + hinterlassen hat by² + cz² = 0, auch als Legendre-Gleichung bekannt.

Georg Cantor um 1870

Obwohl seine „streng klassische Dissertation“ als docta et ingeniosa („gelehrt und klug“) gelobt wurde, gab sein Alter keinen besonderen Hinweis auf das kommende Genie. Er bestand seine mündliche Prüfung magna cum laude. Nach Erhalt seiner Promotion Er verließ Berlin, um eine Stelle als Privatdozent (ein Dozent, der von den Gebühren lebt, die er von seinen Studenten erhalten kann) an der Universität Halle zu übernehmen. Er ersetzte seinen Freund KHA Schwartz (der nach Zürich ging) und übernahm die Arbeit bei Eduard Heine, dem Professor von Mathematik dort.

Frühe Karriere (1870–73)

Einige haben argumentiert, dass die Vorgeschichte von Cantors späterer bahnbrechender Arbeit bis zu seinen frühesten postgradualen Veröffentlichungen zurückverfolgt werden kann. Tatsächlich kann man in Cantors Forschungen, die sich mit der Theorie der trigonometrischen Reihen befassen, tatsächlich Spuren seines frühen Interesses am „Kontinuum“ finden. Nach den Einflüssen von Weierstrass in Berlin und Heine in Halle wurde Cantors erste Arbeit Über einen die trigonometrischen Reihen betreffenden Lehrsatz im März 1870 zur Veröffentlichung fertiggestellt und positioniert, um „das Verständnis von die Konvergenzeigenschaften der Darstellung einer willkürlich gegebenen Funktion mittels unendlicher trigonometrischer Reihen “. Ausgehend von der trigonometrischen Reihe und der von Riemann durchgeführten Arbeit an Funktionen einer komplexen Variablen zeigte Cantor in der Arbeit den folgenden Satz:

Cantors Eindeutigkeitssatz (1870): Jede Funktion f: ℝ → ℝ kann höchstens eine Darstellung durch eine trigonometrische Reihe haben.

Wenn eine Funktion f (x) durch eine trigonometrische Reihe dargestellt wird, die für alle x konvergent ist, ist diese Darstellung eindeutig. 1871 verstärkte er das Ergebnis und bewies, dass die Einzigartigkeit auch dann erhalten bleibt, wenn die Reihe in einem bestimmten Intervall an einer endlichen Anzahl von Punkten auseinander geht. Dieses Ergebnis wurde zuvor von vielen der größten Köpfe dieser Zeit versucht, darunter Heine, Peter Dirichlet und Bernhard Riemann, die bisher nur unter bestimmten Umständen nachweisen konnten, dass es gültig war.

Sein nächstes 1872 veröffentlichtes Papier erweiterte das Ergebnis noch weiter. Die Arbeit Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trignometrischen Reihen ("Zur Verallgemeinerung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen") liefert eine Definition eines Grenzpunktes einer Punktmenge P als einen beliebigen Punkt, so dass jeder Die Nachbarschaft des Punktes enthält unendlich viele Punkte von P. Die erste Ableitung von P (bezeichnet als P ') ist die Menge aller Grenzpunkte von P, die zweite Ableitung P' 'ist die Menge aller Grenzpunkte von P' und so weiter auf. Diese Definition legte den Grundstein für die Punkt-Set-Topologie, die später insbesondere von Felix Hausdorff, Émile Borel und Maurice René Fréchet erweitert wurde. Cantor verwendete die Definition, um seinen Eindeutigkeitssatz zu verbessern, indem er zeigte, dass der Satz auch dann gilt, wenn die trigonometrische Reihe an einer unendlichen Anzahl von Punkten divergiert, vorausgesetzt, die Menge der Punkte ist von endlicher Ordnung (eine Punktmenge P ist von endlicher Ordnung, wenn für eine ganze Zahl n ist die n-te Ableitung P⁽ⁿ⁾ von P eine endliche Menge).

Rückblickend betrachtet verbindet das Papier Cantors frühes Werk in der Analyse mit dem, was heute als sein wichtigstes Werk zur Untersuchung transfiniter Mengen gilt, zum Beispiel in seinem Fokus auf unendliche Punktmengen und der Definition von reellen Zahlen, die er liefert:

Cantors Definition von reellen Zahlen ℝ (1872): Eine reelle Zahl ist eine unendliche Reihe rationaler Zahlen: 
a₁, a₂, ..., aᵤ, ..
so dass für jedes gegebene ε ein u₁ existiert, so dass für u ≥ u₁ und für jede positive ganze Zahl v | aᵤ₊ᵥ - aᵤ | <ε.

In der Arbeit diskutiert Cantor diese Definition und vergleicht sie mit denen, die zuvor von seinen früheren und gegenwärtigen Mentoren Weierstrass in Berlin und Heine in Halle gegeben wurden. Die Ergebnisse ergänzten seine bisherigen Arbeiten und reichten aus, um Cantor 1872 zum außerordorderntlicher Professor an der Universität Halle zu befördern.

Korrespondenz mit Richard Dedekind (1872–73)

Später im selben Jahr lernte Cantor zum ersten Mal Richard Dedekind kennen, der zu diesem Zeitpunkt Professor für Mathematik an der Technischen Hochschule in Braunschweig war. Dedekind hatte zuvor ein Papier veröffentlicht, das eine axiomatische Analyse der Struktur der Menge reeller Zahlen lieferte ℝ. Seine Definition war die reellen Zahlen als ein vollständiges, geordnetes Feld. Cantor und Dedekind tauschten über einen Zeitraum von vielen Jahren Briefe aus. Die mathematischen Teile ihrer Briefe wurden später von Noether und Cavailleès (1937) veröffentlicht und werden heute an der Universität von Evansville in Indiana aufbewahrt.

Am 29. November 1873 sandte Cantor einen Brief an Dedekind, in dem er fragte, ob die Sammlung natürlicher Zahlen und die Sammlung positiver reeller Zahlen „so korrespondiert werden können, dass jedes Individuum einer Sammlung einem und nur einem Individuum des anderen entspricht“. worauf Dedekind schriftlich antwortete, dass er die Antwort nicht kenne, fügte jedoch hinzu, dass die Frage nicht von großem praktischem Interesse sei. An diesem Punkt scheint Cantor dieser Behauptung zuzustimmen und erklärt zu haben, dass sein Interesse an der Angelegenheit mit Joseph Liouvilles Theorem von 1844 zusammenhängt, das die Existenz transzendentaler Zahlen beweist:

Halle, 2. Dezember 1873
Ich habe mich außerordentlich über Ihre Antwort auf meinen letzten Brief gefreut. Ich habe Ihnen meine Frage gestellt, weil ich mich bereits vor einigen Jahren darüber gewundert hatte und nie sicher war, ob die Schwierigkeit, die ich fand, subjektiv war oder ob sie dem Thema inhärent war. Da Sie schreiben, dass auch Sie nicht in der Lage sind, darauf zu antworten, kann ich letzteres annehmen. Darüber hinaus möchte ich hinzufügen, dass ich mich nie ernsthaft damit beschäftigt habe, weil es für mich kein besonderes praktisches Interesse hat. Und ich stimme Ihnen voll und ganz zu, wenn Sie sagen, dass es aus diesem Grund nicht viel Mühe verdient. Aber es wäre gut, wenn es beantwortet werden könnte; Wenn es beispielsweise mit Nein beantwortet werden könnte, hätte man einen neuen Beweis für Liouvilles Theorem, dass es transzendentale Zahlen gibt.
- G. Cantor

Aus Cantors nächstem Brief einige Tage später geht jedoch klar hervor, dass sein Interesse an dem Thema nicht ganz so flüchtig war, wie er es Dedekind gegenüber geäußert hatte, obwohl er derzeit keine besonders wichtigen Implikationen skizziert:

Halle, 7. Dezember 1873
"..In den letzten Tagen hatte ich die Zeit, die Vermutung, über die ich mit Ihnen gesprochen habe, gründlicher zu verfolgen; erst heute glaube ich, dass ich mit der Sache fertig bin; aber wenn ich mich täuschen sollte, sollte ich mit Sicherheit keine finden nachsichtiger Richter als Sie. "

In dem Brief fährt Cantor als nächstes mit dem ersten Entwurf eines Beweises fort, warum die reellen Zahlen nicht eins zu eins mit den natürlichen Zahlen korrespondiert werden können. Keine zwei Tage später schickt er Dedekind einen überarbeiteten und einfacheren Beweis, zusammen mit seiner Entschuldigung, dass er sich mit der Sache beschäftigt hat:

Halle, 9. Dezember 1873
Ich habe bereits einen vereinfachten Beweis für den gerade bewiesenen Satz gefunden, so dass die Zerlegung der Folge in (1), (2), (3), ... nicht mehr notwendig ist. Ich zeige das direkt, wenn ich mit einer Sequenz beginne
(i) ω₁, ω₂, ..., ωᵤ,
dann kann ich in jedem gegebenen Intervall (α ... β) eine Zahl η bestimmen, die nicht in (i) enthalten ist. Daraus folgt sofort, dass die Gesamtheit (x) nicht eins zu eins mit der Gesamtheit (u) korreliert werden kann; und ich schließe daraus, dass es wesentliche Unterschiede zwischen Gesamtheiten und Wertesätzen gibt, die ich bis vor kurzem nicht ergründen konnte.
Jetzt muss ich Sie um Vergebung bitten, dass Sie sich so viel Zeit mit dieser Frage genommen haben. Wenn ich den Eingang Ihrer freundlichen Zeilen vom 8. Dezember bestätige, kann ich Ihnen versichern, dass mir nichts mehr Freude bereiten kann, als das Glück zu haben, bei Ihnen ein Interesse für bestimmte Analysefragen zu wecken.
- G. Cantor

Dedekinds Notizen aus dieser Zeit verdeutlichen die Chronologie der Ereignisse:

Braunschweig, 7. Dezember 1873
Cantor teilt mir am selben Tag einen strengen Beweis des Satzes mit, dass die Gesamtheit aller positiven Zahlen ω <1 nicht eins zu eins mit der Gesamtheit (n) korreliert sein kann.
Ich beantwortete diesen Brief, der am 8. Dezember eingegangen war, am selben Tag mit Glückwünschen für den schönen Erfolg. Gleichzeitig formuliere ich den Kern des Beweises (der immer noch ziemlich kompliziert war) viel einfacher um.
- Richard Dedekind

Mengenlehre

Die Mengenlehre, die von der Stanford Encyclopaedia of Philosophy als „eine der größten Errungenschaften der modernen Mathematik“ beschrieben wird, wurde allgemein als Grundlage für die Arbeit anerkannt, die sich aus der Arbeit von Cantor in den Jahren 1873–1884 ergab. Insbesondere gehen die Ursprünge der Mengenlehre auf eine einzige Veröffentlichung zurück, die 1874 von Cantor mit dem Titel "Über eine Eigenschaft der Sammlung aller reellen algebraischen Zahlen" veröffentlicht wurde. Das grundlegende und folgerichtigste Ergebnis ist die Unzählbarkeit der reellen Zahlen und folglich die Erfindung einer Unterscheidung zwischen Zahlen, die zum „Kontinuum“ gehören, und solchen, die zur „Sammlung wie der Gesamtheit der reellen algebraischen Zahlen“ gehören. . Das Papier erschien im Journal für die reine und angewandte Mathematik, kurz bevor Cantor 30 Jahre alt wurde. Als er ungefähr zwei Wochen nach Erreichen seines Beweises an Dedekind schrieb:

Berlin, 25. Dezember 1873
"..Obwohl ich das Thema, das ich kürzlich zum ersten Mal mit Ihnen besprochen habe, noch nicht veröffentlichen wollte, wurde ich dennoch unerwartet dazu veranlasst. Ich teilte Herrn Weierstrass am 22. meine Ergebnisse mit; es war jedoch keine Zeit Um auf Details einzugehen, hatte ich bereits am 23. das Vergnügen, ihn zu besuchen, bei dem ich ihm die Beweise mitteilen konnte. Er war der Meinung, dass ich die Sache zumindest in Bezug auf die Algebra veröffentlichen muss Also schrieb ich eine kurze Arbeit mit dem Titel: Auf einer Eigenschaft der Menge aller reellen algebraischen Zahlen und schickte sie an Professor Borchardt, um sie für das Journal fur Math in Betracht zu ziehen.
Wie Sie sehen werden, haben mir Ihre Kommentare (die ich sehr schätze) und Ihre Art, einige der Punkte zu formulieren, sehr geholfen. "
- G. Cantor

Auf fünf kurzen Seiten präsentiert Cantors Artikel drei wichtige Ergebnisse:

  1. Die Menge der reellen algebraischen Zahlen ist zählbar; und
  2. In jedem Intervall [a, b] sind unendlich viele Zahlen in keiner Sequenz enthalten; und als Folge davon
  3. Die Menge der reellen Zahlen ist unzählig unendlich;

Der Rest dieses Artikels befasst sich mit der Erläuterung der Auswirkungen des dritten Ergebnisses auf die Unzählbarkeit reeller Zahlen. Dazu beginnen wir mit einigen grundlegenden Konzepten.

Was ist ein Set?

„Ein Set ist ein Vieles, das sich als Eins vorstellen lässt“ - Georg Cantor

Ein Set ist eine Sammlung von Elementen. Die Menge bestehend aus den Zahlen 3,4 und 5 wird mit {3, 4, 5} bezeichnet. Für größere Mengen und der Einfachheit halber wird häufig eine Ellipse verwendet, wenn der Leser die fehlenden Elemente leicht erraten kann. Cantors ursprüngliche Definition eines „Aggregats“ (Satz), übersetzt, lautete wie folgt:

Cantors Definition einer Menge Unter einer Menge verstehen wir jede Sammlung in ein ganzes M bestimmter und getrennter Objekte m unserer Intuition oder unseres Denkens. Diese Objekte werden die "Elemente" von M genannt.

Zählbarkeit

Eine zählbare Menge ist eine Menge mit derselben Kardinalität (Anzahl der Elemente) wie eine Teilmenge der Menge natürlicher Zahlen.

Die Eigenschaft der Zählbarkeit ist eine wichtige in der Mengenlehre. Eine intuitive Interpretation der Zählbarkeit ist "Listbarkeit", bei der die Elemente einer Menge in eine Liste geschrieben werden können. Die inhärent zählbare Menge sind die natürlichen Zahlen ℕ, da die Elemente von ℕ die Zählzahlen selbst sind (1,2,3,…). Wie wir wissen, sind sie unendlich zahlreich und werden daher als "zählbar unendlich" oder "denumerierbar" bezeichnet. Für andere Mengen bedeutet formal, indem angegeben wird, dass eine Menge zählbar ist, dass die Elemente der Menge in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit Elementen der Menge natürlicher Zahlen ℕ gestellt werden können, dh dass:

Zählbare Mengen Eine Menge S ist zählbar, wenn eine injektive Funktion f von S zu den natürlichen Zahlen ℕ = {1,2,3, ...} existiert. Wenn ein solches f gefunden werden kann, das auch surjektiv (und daher bijektiv) ist, dann wird S eine zählbar unendliche Menge oder denumerierbar genannt.
Zum Beispiel für die Menge der geraden Zahlen (2n | n ∈ ∈):
    2 4 6 8 10 ... 2n ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 2 3 4 5 ... n
Wir sehen, dass die Elemente der beiden Mengen in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung miteinander gebracht werden können, und so können wir bestimmen, dass die Menge der geraden Zahlen auch zählbar ist.

Die Zählbarkeitseigenschaft ermöglicht es, Mengen hinsichtlich der Anzahl der enthaltenen Elemente zu vergleichen, ohne tatsächlich etwas zu zählen, und auf diese Weise Rückschlüsse auf die relativen Größen sowohl endlicher als auch unendlicher Mengen zu ziehen. Lassen Sie uns aus praktischen Gründen den endlichen Fall veranschaulichen, indem wir uns ein Klassenzimmer mit 100 Plätzen vorstellen. Mit Studenten gefüllt, kann man einen Rückschluss auf die Größe der Gruppe von Studenten im Verhältnis zur Größe der Gruppe von Sitzen ziehen. Wenn freie Plätze frei sind, ist die Anzahl der Sitze größer als die Anzahl der Schüler. Wenn keine Plätze frei sind und einige Schüler stehen, ist die Anzahl der Schüler größer als die der Sitze usw.

Die Zählbarkeit rationaler Zahlen (1873)

Cantors erste veröffentlichte Untersuchung zur Zählbarkeit von Mengen erfolgte 1873, als er bewies, dass die rationalen Zahlen ℚ (Brüche / Verhältnisse) zählbar sind. Sein ziemlich eleganter und intuitiver Beweis lautete wie folgt:

Beweis der Zählbarkeit der rationalen Zahlen ℚ Lassen Sie uns zunächst vorschlagen, dass die Menge der rationalen Zahlen ℚ zählbar ist. Um diese Behauptung zu beweisen, ordnen wir alle rationalen Zahlen (Verhältnisse natürlicher Zahlen) in einer unendlichen Tabelle als solche an:
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 ... 2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 ... 3/1 3/2 3/3 3/4 3 / 5 ... 4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 ... 5/1 5/2 5/3 5/4 5/5 ... ... ... .... .. ...
Als nächstes bewegen Sie sich beginnend in der oberen linken Ecke bei 45 Grad von links nach rechts durch die Diagonalen, beginnend mit 1/1, dann 1/2 und 2/1, dann 3/1, 2/2 und 1/3 und so weiter auf. Schreiben Sie jede neue Nummer auf, auf die Sie stoßen. Sie erhalten folgende Bestellung:
1/1, 1/2, 2/1, 3/1, 2/2, ... 1 2 3 4 5 ...
Das ist nicht nur eine gute Ordnung, sondern auch eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen in ihrer natürlichen Reihenfolge. Dies beweist die Zählbarkeit der rationalen Zahlen ℚ.

Die Zählbarkeit reeller algebraischer Zahlen (1874)

Ein Jahr später zeigte Cantor in seiner Arbeit von 1884, dass die reellen algebraischen Zahlen zählbar sind. Reelle algebraische Zahlen sind reelle Zahlen ω, die Gleichungen der Form erfüllen: aₒ ωᵘ + a¹ωᵘ⁻¹ +… + aᵤ = 0. Das heißt, reelle algebraische Zahlen sind Wurzeln von reellen Polynomen ungleich Null. Sie sind zählbar, dh:

Die Zählbarkeit realer algebraischer Zahlen Die Sammlung aller algebraischen Realzahlen kann als unendliche Folge geschrieben werden.

Cantor zeigte es in seiner Arbeit von 1874 durch den folgenden Beweis:

Beweis der Zählbarkeit reeller algebraischer Zahlen (1874) Für jede Polynomgleichung der Form aₒωᵘ + a₁ωᵘ⁻¹ +… + aᵤ = 0
Definieren Sie mit ganzzahligen Koeffizienten a seinen Index als die Summe der absoluten Werte der Koeffizienten plus dem Grad der Gleichung:
| aₒ | + | a₁ | + ... + | aᵤ |
Die einzige Gleichung von Index 2 ist ω = 0, daher ist seine Lösung 0 die erste algebraische Zahl. Die vier Gleichungen von Index 3 sind 2x = 0, x + 1 = 0, x - 1 = 0 und x2 = 0. Sie haben Wurzeln 0, –1, 1, also hat er die neuen Werte –1 und 1 als die eingeschlossen zweiter und dritter Eintrag in seiner Liste der algebraischen Zahlen.
Beachten Sie, dass es für jeden Index nur endlich viele Gleichungen gibt und dass jede Gleichung nur endlich viele Wurzeln hat. Durch Auflisten der neuen Wurzeln nach Indexreihenfolge und durch Erhöhen der Größe innerhalb jedes Index wird eine systematische Methode zum Auflisten aller algebraischen Zahlen festgelegt. Wie bei Rationalen hat die Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen bewiesen, dass die Menge der algebraischen Zahlen zählbar unendlich sein muss.

Die Unzählbarkeit reeller Zahlen (1874)

Cantors fruchtbarste Verwendung der Zählbarkeit als Konzept fand sich im dritten Ergebnis seiner Arbeit von 1874, als er die Unzählbarkeit der reellen Zahlen demonstrierte - der erste Satz, dem diese Eigenschaft fehlte. Eine reelle Zahl ℝ ist ein Wert einer stetigen Größe, die einen Abstand entlang einer Linie darstellen kann. Jede reelle Zahl kann durch eine möglicherweise unendliche Dezimaldarstellung bestimmt werden, wie z. B. 8,632, 0,00001, 10,1 usw., wobei jede aufeinanderfolgende Ziffer in Einheiten gemessen wird, die ein Zehntel der Größe der vorherigen Ziffer betragen. Die Aussage, dass die reellen Zahlen unzählbar sind, entspricht der Aussage:

Die Unzählbarkeit von reellen Zahlen Bei jeder Folge von reellen Zahlen und jedem Intervall [α ... β] kann man in [α ... β] eine Zahl η bestimmen, die nicht zur Folge gehört. Man kann also unendlich viele solcher Zahlen η in [α ... β] bestimmen.

Wie wir aus seinem Briefwechsel mit Dedekind im Jahr 1873 gesehen haben, wissen wir, wie Cantor auf das bedeutsame Ergebnis hingearbeitet hat. Sein ursprünglicher Beweis (Cantors erster Unzählbarkeitsbeweis) lautete wie folgt und basiert auf dem Satz von Bozen-Weierstrass:

Beweis der Unzählbarkeit der reellen Zahlen ℝ (1874) Nehmen wir an, wir haben eine unendliche Folge von reellen Zahlen,
(i) ω₁, ω₂, ... ωᵥ, ...
wobei die Sequenz nach einem beliebigen Gesetz erzeugt wird und die Zahlen voneinander verschieden sind. Dann kann in jedem gegebenen Intervall (α ... β) eine Zahl η (und folglich unendlich viele solcher Zahlen) so bestimmt werden, dass sie in der Reihe (i) nicht vorkommt.
Um dies zu beweisen, gehen wir zum Ende des Intervalls [α ... β], das uns willkürlich gegeben wurde und in dem α <β ist. Die ersten beiden Zahlen unserer Sequenz (i), die im Inneren dieses Intervalls liegen (mit Ausnahme der Grenzen), können mit α ', β' bezeichnet werden, wobei α '<β' ist. In ähnlicher Weise bezeichnen wir die ersten beiden Zahlen unserer Sequenz, die im Inneren von (α '... β') liegen, mit α ", β" und lassen wir α "<β". Konstruieren Sie auf die gleiche Weise das nächste Intervall und so weiter.
Hier sind daher α ', α "... per Definition bestimmte Zahlen unserer Sequenz (i), deren Indizes kontinuierlich ansteigen. Gleiches gilt für die Sequenz β', β", ...; Darüber hinaus nehmen die Zahlen α ', α "... immer größer zu, während die Zahlen β', β", ... immer kleiner werden. Von den Intervallen [α ... β], [α '... β'], [α "... β"], .... schließt jedes alle folgenden ein. Hier sind nur zwei Fälle denkbar.
Im ersten Fall ist die Anzahl der so gebildeten Intervalle endlich. In diesem Fall sei der letzte von ihnen (αᵛ ... βᵛ). Da sein Inneres höchstens eine Zahl der Folge (i) sein kann, kann aus diesem Intervall eine Zahl η gewählt werden, die nicht in (i) enthalten ist, wodurch der Satz bewiesen wird.
Im zweiten Fall ist die Anzahl der konstruierten Intervalle unendlich. Dann haben die Zahlen α, α ', α ", ... einen bestimmten Grenzwert αʷ, weil sie immer größer werden, ohne ins Unendliche zu wachsen. Gleiches gilt für die Zahlen β, β', β" ,. .. weil sie immer kleiner werden. Ihr Grenzwert sei βʷ. Wenn αʷ = βʷ, dann kann man sich leicht davon überzeugen, wenn man nur auf die Definition der Intervalle zurückblickt, dass die Zahl η = αʷ = βʷ nicht in unserer Sequenz (i) enthalten sein kann. Wenn jedoch αʷ <βʷ ist, erfüllt jede Zahl η im Inneren des Intervalls [αʷ ... βʷ] sowie seine Grenzen die Anforderung, dass sie nicht in der Sequenz (i) enthalten ist.

Cantors diagonales Argument (1891)

Cantor lieferte siebzehn Jahre später einen einfacheren Beweis unter Verwendung des sogenannten Cantor-Diagonalarguments, das erstmals 1891 in einem Artikel mit dem Titel Über eine elementere Frage der Mannigfaltigkeitslehre veröffentlicht wurde. Ich schließe es hier wegen seiner Eleganz und Einfachheit ein. Verallgemeinert lautet das jetzt berühmte Argument wie folgt:

Beweis: Cantors diagonales Argument (1891) In seiner Arbeit betrachtet Cantor die Menge M aller unendlichen Folgen der Binärzahlen m und w. Sequenzen wie:
E₁ = (m, m, m, m, m, ...), E₂ = (w, w, w, w, w, ...), E₃ = (m, w, m, w, m ,. ..), E₄ = (w, m, w, m, w, ...), E₅ = (m, m, w, w, m, ...)
Cantor behauptet, dass es eine Menge M gibt, die nicht den „Atem“ der Reihen E₁, E₂, E₃… hat, was bedeutet, dass M eine andere Größe hat als die Summe jeder Sequenz En, dh dass M aus allen konstruiert ist Mit den unendlichen Folgen der Binärzahlen m und w kann er immer eine neue Folge E₀ konstruieren, die „sowohl ein Element von M als auch kein Element von M ist“.
Die neue Sequenz E₀ wird unter Verwendung der Komplemente einer Ziffer aus jeder Sequenz E₁, E₂,… En konstruiert. Ein Komplement einer Binärzahl ist definiert als der Wert, der durch Invertieren der Bits in der Darstellung der Zahl erhalten wird (Vertauschen von m gegen w und umgekehrt). Die neue Folge besteht also aus dem Komplement der ersten Ziffer aus der Folge E₁ (m), dem Komplement der zweiten Ziffer aus der Folge E₂ (w), dem Komplement der dritten Ziffer aus der Folge E₃ (m) und so weiter bis schließlich das Komplement der n-ten Ziffer aus der Folge En. Aus den obigen Beispielsequenzen wäre die neue Sequenz E₀ dann:
E₀ = (w, m, w, w, w, ...)
Durch seine Konstruktion unterscheidet sich E₀ von jeder Sequenz En, da sich ihre n-ten Ziffern unterscheiden. Daher kann E₀ keine der unendlichen Sequenzen in der Menge M sein.

Angewandt, um die Unzählbarkeit der reellen Zahlen zu beweisen ℝ:

Beweis der Unzählbarkeit der reellen Zahlen ℝ Dieser Beweis ist widersprüchlich, dh wir gehen davon aus, dass die reellen Zahlen ℝ zählbar sind und einen Widerspruch ableiten. Wenn die Realzahlen zählbar sind, können sie aufgelistet werden:
1. 657.853260 ... 2. 2.313333 ... 3. 3.141592 ... 4. .000307 ... 5. 49.494949 ... 6. .873257 ... ...
Um einen Widerspruch zu erhalten, genügt es zu zeigen, dass es ein echtes α gibt, das in der Liste fehlt. Die Konstruktion eines solchen α funktioniert, indem seine erste Dezimalstelle von der ersten Dezimalstelle der ersten Zahl der Liste verschieden gemacht wird, indem die zweite Dezimalstelle von der zweiten Dezimalstelle der zweiten Zahl verschieden gemacht wird und im Allgemeinen die n-te Dezimalstelle unterscheidet sich von der n-ten Dezimalstelle der n-ten Zahl in der Liste.
Noch einfacher, für unser α machen wir die n-te Dezimalstelle 1, es sei denn, es ist bereits 1, in diesem Fall machen wir es 2. Durch diesen Vorgang erhalten wir für unsere Beispielliste von Zahlen:
α = .122111 ...
Was konstruktionsbedingt nicht Mitglied der von uns erstellten Liste sein kann. Im Widerspruch dazu kann unsere Liste aller Realzahlen nicht jede Zahl enthalten und muss daher unzählig sein.

Die Schlussfolgerungen beider Beweise (1874 und 1891) sind die gleichen - obwohl sowohl die natürlichen Zahlen als auch die reellen Zahlen unendlich zahlreich sind und so für immer weitergehen, gibt es „nicht genug“ natürliche Zahlen, um eins zu eins zu schaffen Entsprechung zwischen ihnen und den reellen Zahlen. Mit anderen Worten, Cantors brillante Entdeckung zeigte rigoros, dass die Unendlichkeit in verschiedenen Größen vorliegt, von denen einige größer sind als andere.

Es gibt mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen.

Aus Cantors Korrespondenz mit Dedekind um die Zeit der Vorlage des ursprünglichen Beweises im Jahr 1874 geht hervor, dass er bereits dabei war, über diese besondere Implikation des Ergebnisses nachzudenken, obwohl er dies aus bekannten Aufzeichnungen nicht ausdrücklich zu sagen scheint Dedekind. Wir sehen jedoch Spuren seines brillant kreativen und fragenden Geistes in seinen Briefen aus derselben Zeit, wie in diesem Auszug aus dem Januar 1874 über die Größe von Mengen unterschiedlicher Dimensionen:

Halle, 5. Januar 1874
"..Kann eine Fläche (z. B. ein Quadrat, das die Grenze enthält) eindeutig auf eine Linie bezogen werden (z. B. ein gerades Liniensegment, das die Endpunkte enthält), sodass für jeden Punkt auf der Oberfläche ein entsprechender Punkt der Linie und vorhanden ist Umgekehrt gibt es für jeden Punkt der Linie einen entsprechenden Punkt der Oberfläche. Es scheint mir im Moment immer noch, dass die Antwort auf diese Frage sehr schwierig ist - obwohl auch hier man so gezwungen ist, nein zu sagen, dass man möchte den Beweis für fast überflüssig zu halten. "
- G. Cantor

Wenn Dedekind nicht direkt auf den Vorschlag antwortet, wiederholt Cantor die Anfrage einige Wochen später und zeigt sein Bewusstsein für die bedeutsamen Auswirkungen, die sie hat:

Halle, 28. Januar 1874
"..Wenn Sie dazu kommen, mir zu antworten, wäre ich dankbar zu hören, ob Sie die gleichen Schwierigkeiten hatten wie ich, die Frage zu beantworten, die ich Ihnen im Januar über die Korrelation einer Linie und einer Oberfläche geschickt habe, oder ob ich täusche Ich selbst. In Berlin sagte mir ein Freund, dem ich das gleiche Problem vorstellte, das Thema sei etwas absurd, weil es selbstverständlich ist, dass zwei unabhängige Variablen nicht auf eine reduziert werden können. "
- G. Cantor

Nach dem, was wir aus bekannten Aufzeichnungen ableiten können, würde es drei Jahre dauern, bis Dedekind und Cantor erneut zu diesem Thema sprachen. Aus seinen Briefen geht hervor, dass Cantors Raffinesse in Bezug auf das Thema der Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen unendlichen Mengen zu diesem Zeitpunkt gewachsen ist und dass sein Verständnis der Auswirkungen im Jahr 1877 viel tiefer geht als zuvor:

Halle, 20. Juni 1877
"..Ich möchte wissen, ob Sie ein Inferenzverfahren, das ich verwende, als arithmetisch streng betrachten.
Das Problem besteht darin zu zeigen, dass Oberflächen, Körper, ja sogar kontinuierliche Strukturen mit p-Dimensionen eins zu eins mit durchgehenden Linien korreliert werden können, dh mit Strukturen mit nur einer Dimension - so dass Oberflächen, Körper, sogar sogar kontinuierliche Strukturen mit p-Dimensionen haben die gleiche Kraft wie Kurven. Diese Idee scheint im Widerspruch zu der zu stehen, die besonders unter den Vertretern der modernen Geometrie vorherrscht, die von einfach unendlich, doppelt, dreifach sprechen. . . ρ-fache unendliche Strukturen. (Manchmal findet man sogar die Idee, dass die Unendlichkeit von Punkten einer Oberfläche oder eines Körpers durch Quadrieren oder Würfeln der Unendlichkeit von Punkten einer Linie erhalten wird.) "
- G. Cantor

Unendliche Mengen

„Ich protestiere gegen die Verwendung der unendlichen Größe als etwas Vollendetes, was in der Mathematik niemals zulässig ist. Unendlichkeit ist nur eine Art zu sprechen. “
- CF Gauss, 1831

Die Elemente aller Sets, denen wir bisher begegnet sind, waren unendlich zahlreich, was bedeutet, dass sie für immer weitergehen. Wir haben jedoch auch gezeigt, dass einer von ihnen nicht die gleiche „Größe“ hat oder zumindest nicht in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit den natürlichen Zahlen gebracht werden kann. Vielleicht noch paradoxer haben wir gesehen, dass eine unendliche Teilmenge (z. B. die geraden Zahlen) einer unendlichen Menge (die natürlichen Zahlen) in eine Eins-zu-Eins-Entsprechung gebracht werden kann, was zu einer besonderen Eigenschaft von unendlichen Mengen führt, nämlich Das:

Definition einer unendlichen Menge Eine Menge A ist genau dann unendlich, wenn es eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen A und einer Menge X gibt, die eine richtige Teilmenge von A ist.

Diese von Dedekind geprägte Eigenschaft erscheint angesichts der intuitiven Vorstellung, dass es in einem Ganzen immer mehr Elemente geben muss als in einigen Teilen davon, paradox (Euklids sogenannter Common Notion 5). Dies bedeutet, dass wenn zwei unendliche Mengen die gleiche Anzahl von Elementen enthalten, wenn:

  1. Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen ihnen; und
  2. Die Größe eines Ganzen muss größer sein als die eines seiner Teile;

Dann kann die Anzahl der Elemente in einer unendlichen Menge nicht als Maß für ihre Größe angesehen werden. Es deutet darauf hin, dass die Elemente einer unendlichen Menge in gewissem Sinne „ohne Zahl“ sind, da man niemals alle zählen kann, sondern auch, weil die Vorstellung einer Zahl als Maß für die Größe in diesem Bereich wenig Sinn macht - Alles unendlich Sätze scheinen gleich groß zu sein, wenn die Eins-zu-Eins-Entsprechung als Hinweis auf die Gleichheit in Bezug auf die Größe eines Satzes angesehen wird.

Kardinalzahlen

Wie geht man also vor, um die Eigenschaften und Unterschiede unendlicher Mengen zu untersuchen? Nach seiner Entdeckung der Existenz auf nicht denumerierbaren unendlichen Mengen im Jahr 1874 wandte sich Cantor 1878 einer allgemeineren Untersuchung dessen zu, was er Kräfte oder Kardinalzahlen nannte - der Untersuchung der Größen von Mengen. Die Kardinalität der Menge A wird normalerweise mit | A | bezeichnet, manchmal mit Karte (A).

Cantors Definition von Kardinalzahlen Wir werden mit dem Namen "Macht" oder "Kardinalzahl" von M das allgemeine Konzept bezeichnen, das sich durch unsere aktive Denkfähigkeit aus der Menge M ergibt, wenn wir von der Natur ihrer verschiedenen abstrahieren Elemente m und in der Reihenfolge, in der sie angegeben sind.

Oder einfacher ausgedrückt: Kardinalzahlen sind eine Verallgemeinerung der natürlichen Zahlen, die zur Messung der Kardinalität (Größe) von Mengen verwendet werden. Unter Verwendung der Kardinalitätseigenschaft konnte Cantor die Frage, die er Dedekind wiederholt stellte, formell beantworten, nämlich ob ein Quadrat auf eine Linie mit einer Eins-zu-Eins-Entsprechung der Punkte auf jedem abgebildet werden konnte, dh:

Satz: Die Menge ² aller geordneten Paare reeller Zahlen (dh der reellen Ebene) hat die gleiche Größe wie ℝ.

Der Satz ging aus Cantors 1878 erschienenen Arbeiten Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre hervor und kann auf folgende / moderne Weise (von Julius König zugeschrieben) elegant bewiesen werden:

Beweis, dass | ℝ² | = | ℝ | Es genügt zu beweisen, dass die Menge aller Paare (x, y), 0 
x = 0,3 01 2 007 08 ... y = 0,009 2 05 1 0008 ...
Beachten Sie, dass die Ziffern von x und y in Gruppen unterteilt wurden, indem immer zur nächsten Ziffer ungleich Null gewechselt wurde. Nun assoziieren wir zu (x, y) die Zahl z ∈ (0,1], indem wir die erste x-Gruppe, danach die erste y-Gruppe, dann die zweite x-Gruppe usw. aufschreiben Beispiel erhalten wir:
z = 0,3 009 01 2 2 05 007 1 08 0008 ...
Da weder x noch y ab einem bestimmten Punkt nur noch Nullen aufweisen, stellen wir fest, dass der Ausdruck für z wieder eine nicht terminierende Dezimalerweiterung ist. Umgekehrt können wir aus der Erweiterung von z sofort das Vorbild (x, y) ablesen und die Karte ist bijektiv.

Paradoxerweise kann die zweidimensionale Ebene ² tatsächlich tatsächlich bijektiv (mit Eins-zu-Eins-Entsprechung) auf die eindimensionale Linie ℝ abgebildet werden. Induktiv können wir das Ergebnis auf höhere Dimensionen erweitern. Seine kontraintuitive Natur veranlasste Cantor, bekannt zu geben:

Halle, 29. Juni 1877
"..Bitte entschuldigen Sie meinen Eifer für das Thema, wenn ich so viele Anforderungen an Ihre Freundlichkeit und Geduld stelle; die Mitteilungen, die ich Ihnen kürzlich geschickt habe, sind sogar für mich so unerwartet, so neu, dass ich keine Ruhe haben kann, bis ich sie erhalte von dir, geehrter Freund, eine Entscheidung über ihre Richtigkeit. Solange du mir nicht zugestimmt hast, kann ich nur sagen: je le vois, mais je ne le crois pas. "
"Ich sehe es, aber ich glaube es nicht".

Unendliche Kardinalzahlen

Als Cantor sich 1878 dann dem Studium unendlicher Kardinalzahlen zuwandte, war ihm bereits die Existenz von zwei solchen Mächtigkeiten bewusst: Punktmengen (zB die natürlichen Zahlen) und das Kontinuum (zB reelle Zahlen). In seiner Arbeit von 1883 mit dem Titel Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre führte er eine Unterscheidung zwischen zwei Unendlichkeiten ein, der transfiniten und der absoluten:

Transfinite Zahlen sind Zahlen, die in dem Sinne "unendlich" sind, dass sie größer sind als alle endlichen Zahlen, aber nicht unbedingt absolut unendlich.

Das absolute unendliche Ω, das ebenfalls von Cantor eingeführt wurde, kann als eine Zahl angesehen werden, die größer ist als jede denkbare oder unvorstellbare Größe, entweder endlich oder transfinit. Transfinite Zahlen können in ihrer Größe erhöht werden, während das Absolute nicht erhöht werden kann. Die besonderen transfiniten Zahlen, an die er dachte, waren diejenigen, die ihm durch seine Studien über die Zählbarkeit einiger unendlicher Mengen (z. B. der natürlichen Zahlen) und die Unzählbarkeit anderer Mengen (z. B. die reellen Zahlen) bewusst wurden. Er bezeichnete ihre Kardinalitäten ℵ₀ (Aleph nichts) bzw. ℵ₁ (Aleph eins) als die ersten beiden „Ordnungen der Unendlichkeit“, die beide kleiner als die absolute Unendlichkeit Ω sind.

Die Kontinuumshypothese (1878)

Es gibt keine unendlichen Kardinalzahlen, die genau zwischen der Kardinalität der natürlichen Zahlen ℵ₀ und der Kardinalität der reellen Zahlen ℵ₁ liegen.

Keine Einführung in Cantor wäre vollständig, ohne die berüchtigte Hypothese zu diskutieren, die für immer mit seinem Lebenswerk, Cantors Continuum Hypothesis (CH), verbunden ist. Ein Großteil seiner Arbeit über die Vermutung wurde zwischen 1879 und 1884 in der sechsteiligen Abhandlung Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten in der Zeitschrift Mathematische Annalen veröffentlicht.

Georg Cantor (links) und seine sechsteilige Abhandlung Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten in der Zeitschrift Mathematische Annalen.

Sein erster Auftritt erfolgte jedoch in der Arbeit Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre von 1878, in der er Folgendes feststellt:

Es stellt sich die Frage, wie die verschiedenen Teile einer durchgehenden geraden Linie, dh die verschiedenen unendlichen Mannigfaltigkeiten von Punkten, die darin gedacht werden können, in Bezug auf ihre Kräfte zusammenhängen. 
Lassen Sie uns dieses Problem von seiner geometrischen Gestalt trennen und durch eine lineare Mannigfaltigkeit von reellen Zahlen jede denkbare Gesamtheit von unendlich vielen unterschiedlichen reellen Zahlen verstehen. Dann stellt sich die Frage, in wie viele und welche Klassen die linearen Mannigfaltigkeiten fallen, wenn Mannigfaltigkeiten derselben Kraft in dieselbe Klasse und Mannigfaltigkeiten unterschiedlicher Kraft in verschiedene Klassen eingeteilt werden.
Durch ein induktives Verfahren, dessen genauere Darstellung hier nicht gegeben wird, wird der Satz vorgeschlagen, dass die Anzahl der Klassen linearer Mannigfaltigkeiten, zu denen dieses Sortierprinzip führt, endlich ist und tatsächlich gleich zwei ist.

Wir kennen die Kardinalzahlen 0, 1, 2 ,. . . und die unendliche Kardinalzahl ℵ₀ und weiter, dass die Kardinalität der reellen Zahlen größer als ℵ₀ ist. Cantors Behauptung in seiner Aussage zur Kontinuumshypothese ist, dass die Kardinalität der reellen Zahlen die nächste transfinite Zahl nach ℵ₀ ist, dh das

c = | ℝ | = ℵ₁

Dies bedeutet, dass keine Menge eine Kardinalität haben kann, die größer als die der natürlichen Zahlen ℵ₀ und kleiner als c ist, und dass c die Kardinalität der reellen Zahlen ist. ℵ₁ liegt in diesem Sinne jenseits jeder zählbaren Menge von anderen Kardinalzahlen als sich selbst und kann nur durch Addition anderer Kardinalzahlen mit der Potenz von ℵ₁ „erreicht“ werden.

Versuchte Beweise

Cantor verbrachte viele der verbleibenden Jahre seines Lebens damit, zu beweisen, dass die Kontinuumshypothese wahr ist. Seine direkte Strategie bestand darin, die abgeleiteten Mengen P⁽ⁿ⁾ einer Punktmenge P zu verwenden, um ihre Kardinalität zu messen. Wie Bertrand Russell es ausdrückte:

Im Volksmund besteht die erste Ableitung aus allen Punkten, in deren Nachbarschaft sich unendlich viele Begriffe der Sammlung häufen; und nachfolgende Derivate ergeben sozusagen unterschiedliche Konzentrationsgrade in jeder Nachbarschaft. Somit ist leicht zu erkennen, warum Derivate für die Kontinuität relevant sind; Um kontinuierlich zu sein, muss eine Sammlung so konzentriert wie möglich in jeder Nachbarschaft sein, die Begriffe der Sammlung enthält.

Da der Prozess der Ableitung von Derivaten nicht unbedingt nach einer zählbar unendlichen Anzahl von Iterationen endet, setzte Cantor den Prozess bis ins Transfinite fort. Als die Strategie scheiterte, wandte sich Cantor seiner sogenannten „indirekten Strategie“ zu, die das Hauptthema der 1883 veröffentlichten Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre ist. Die Strategie basierte auf seiner Theorie von Potenzen von Kardinalzahlen, dh bei der Einführung einer Klasse von transfiniten Zahlen, mit denen die Größe einer unendlichen Menge gezählt werden kann. Die Kontinuumshypothese in diesem System würde gezeigt werden, indem bestimmt wird, wo die Kraft des Kontinuums auf der „Skala“ der transfiniten Zahlen liegt - dass es die erste nicht denumerierbare transfinite Zahl war.

Cantor würde viele Jahre damit verbringen, die Kontinuumshypothese zu lösen. Als er eines Tages glaubte, einen Beweis für seine Wahrheit gefunden zu haben, hatte er am nächsten Tag einen Beweis für seine Unwahrheit gefunden. Am nächsten Tag fand er erneut einen Beweis für seine Wahrheit, um später festzustellen, dass alle seine Beweise ungültig waren.

Psychische Gesundheit

Cantor erlitt im Mai 1884 seinen ersten schweren Nervenzusammenbruch, zehn Jahre nach der Veröffentlichung seines ersten Beweises für die Unzählbarkeit der reellen Zahlen. Die meisten Historiker glauben, dass der Zusammenbruch auf einen anhaltenden Streit zurückzuführen ist, den Cantor mit Leopold Kronecker an der Universität Berlin hatte, verbunden mit der offensichtlichen Unlösbarkeit der Kontinuumshypothese. Wie wir aus Briefen lesen können, die Cantor an den schwedischen Mathematiker Mittag-Leffler geschickt hat, ereignete sich Cantors erster Zusammenbruch, als er von einer freudigen Reise nach Paris zurückgekehrt war, wo er unter anderem Henri Poincaré traf. Cantor schreibt, dass er Poincaré sehr mochte und sich darüber freute, dass der große Mann seine transfinite Mengenlehre und ihre Anwendungen verstand. Darüber hinaus schreibt er, dass er Zeit damit verbracht habe, Galerien und Museen zu besuchen und sich seiner Liebe zur Oper und zum Theater hinzugeben. Cantors Zusammenbruch ereignete sich Berichten zufolge kurz nach seiner Rückkehr nach Deutschland, um sich um Familienangelegenheiten zu kümmern.

Wir wissen nicht, was Cantors Zusammenbruch verursacht hat. Arthur Schoenflies argumentiert, dass Cantors Verbitterung mit der enormen Opposition gegen seine Arbeit, die von seinem ehemaligen Professor Leopold Kronecker in Berlin verfochten wurde, der Haupttreiber seiner Not war. Kronecker war mehr als jeder andere professionelle Mathematiker zu dieser Zeit der lautstärkste Gegner von Cantors Ideen gewesen, die bis zu Cantors Papier von 1874 zurückgingen, von dem Cantor befürchtete, Kronecker würde die Veröffentlichung verzögern, wie er es in einem von Heines Artikeln getan hatte . Aufgrund dieser Bedenken ließ Cantor auf Anraten von Weierstrass seinen Unzählbarkeitssatz aus dem ursprünglichen Entwurf des Artikels heraus und fügte ihn erst später beim Korrekturlesen als Bemerkung am Ende seiner Einführung hinzu. Darüber hinaus soll der Einfluss von Kronecker Cantor veranlasst haben, Dedekinds Version des Beweises der Zählbarkeit der reellen Zahlen zu verwenden, aber Dedekinds „Prinzip der Kontinuität“ bewusst wegzulassen, das Kronecker nicht akzeptierte. Berichten zufolge erwähnte jeder einzelne der 52 Briefe, die Cantor 1884 Mittag-Leffler sandte, Kronecker namentlich.

Kronecker widersprach grundsätzlich der Ausrichtung von Cantors Arbeit zur Mengenlehre, da sie unter anderem die Existenz von Mengen behauptete, die bestimmte Eigenschaften erfüllten, ohne Beispiele für bestimmte Mengen zu nennen, deren Mitglieder diese Eigenschaften erfüllten. Kronecker gab auch mathematische Konzepte nur zu, wenn sie in einer endlichen Anzahl von Schritten aus den natürlichen Zahlen konstruiert werden konnten, die er für gegeben hielt. Kronecker war Cantors Professor in Berlin und leitete dort bis zu seinem Tod 1891 die Fakultät für Mathematik. Jedes Mal, wenn Cantor sich für eine Stelle in Berlin bewarb, wurde er abgelehnt, obwohl er in mathematischen Kreisen ein bekannter Name geworden war. Cantors Ideen, die in direktem Gegensatz zu Kroneckers stehen, führen letztendlich dazu, dass dieser Cantor als „Verderber der Jugend“ bezeichnet, der „gestoppt werden muss“.

Letzte Jahre

Nach seinem Krankenhausaufenthalt im Jahr 1884 gibt es keine Aufzeichnungen darüber, dass Cantor bis 1899 erneut in ein Sanatorium aufgenommen wurde. In diesem Jahr starb sein jüngster Sohn und Cantor verlor Berichten zufolge seine Leidenschaft für Mathematik. Als Julius König 1903 ein Papier vorstellte, das versuchte, die Grundmieter der transfiniten Mengenlehre zu widerlegen, empfand Cantor dies als schwerwiegende öffentliche Demütigung. Obwohl Ernst Zermelo weniger als einen Tag später die Ungültigkeit der Zeitung demonstrierte, blieb Cantor erschüttert und begann sogar für einen Moment, die Existenz Gottes in Frage zu stellen (Cantor war ein frommer Christ). Die Ereignisse gingen einer Reihe zusätzlicher Krankenhausaufenthalte im Abstand von zwei bis drei Jahren voraus.

Kantor im Jahr 1917

Obwohl Cantor sich weiterhin nach Stellen an der Universität Berlin erkundigte, blieb er bis zu seinem Tod an der Universität Halle. Er verbrachte die letzten 20 Jahre seines Lebens in einem Zustand chronischer Depression und verteidigte seine kontroversen Vorstellungen über die Mengenlehre und die Gültigkeit seiner Beweise, hauptsächlich gegen die Kritik anderer Mathematiker in Deutschland. Cantor ging 1913 in den Ruhestand, lebte in Armut und litt unter Unterernährung während des Ersten Weltkriegs. Im Juni 1917 betrat er erneut ein Sanatorium, wo er schließlich am 6. Januar 1918 an einem Herzinfarkt starb. Von seiner endgültigen Aufnahme bis zu seinem Tod schrieb ständig an seine Frau und bat darum, nach Hause kommen zu dürfen.

Paradies verloren?

Der deutsche Mathematiker David Hilbert identifizierte 1900 die Kontinuumshypothese als eines der 23 wichtigsten Probleme, die die Zukunft der Mathematik im 20. Jahrhundert prägen sollten. Seine Vorhersage erwies sich als zutreffend, da Versuche anderer Mathematiker, Cantors Vermutung zu beweisen oder zu widerlegen, zu einigen der tiefsten Arbeiten in der Mengenlehre führten, die es bisher gab.

Erst 1940 bestätigte der österreichisch-ungarische Logiker Kurt Gödel die Konsistenz der Kontinuumshypothese, indem er zeigte, dass sie nicht von den anderen Axiomen der Mengenlehre widerlegt werden konnte. 23 Jahre später stellte der amerikanische Mathematiker Paul Cohen seine Unabhängigkeit fest, indem er zeigte, dass die Kontinuumshypothese aus den anderen Axiomen der Mengenlehre nicht bewiesen werden konnte. Mit anderen Worten, sie zeigten, dass die Aussage c = ℵ₁ unabhängig vom Zermelo-Fraenkel-Axiomensystem ist, das allgemein als häufigste Grundlage der Mathematik anerkannt ist. Die Konsistenz und Unabhängigkeit von Cantors Vermutung bedeutete, dass es möglich war, gültige Modelle der Mengenlehre zu erstellen, die die Kontinuumshypothese erfüllten, und andere Modelle, die dies nicht taten. Die Erkenntnis der Existenz dieser und anderer unbeweisbarer Aussagen veränderte die Natur der Mathematik als rigorose, logische Disziplin und veranlasste Hilbert 1926, zur Verteidigung der kantorianischen Mengenlehre zu proklamieren:

„Aus dem Paradies, das Cantor für uns geschaffen hat, kann uns niemand vertreiben“ - David Hilbert