Bis ins Unendliche und darüber hinaus, mit Fraktalen

Die Coffee + Math Serie

Das ist Adam.

Wir haben einen letzten Kaffee + Mathe-Aufholjagd für 2017 eingefahren!

Diese Woche haben wir uns der drückenden Sommerhitze widersetzt und mit Adam Humphreys in Sydney, Australien, eine heiße Schokolade getrunken.

Bevor er zu Mathspace kam, war Adam in der akademischen Welt verankert und widmete die Hälfte seiner Zeit der Mathematik und die andere Hälfte der Physik. Er verbringt jetzt seine Tage damit, die mathematischen Fragen zu erstellen, die Sie auf Mathspace finden.

Kaffee der Wahl?

Hmm…. Ich bin kein großer Kaffeetrinker - ich bevorzuge heiße Schokolade.

Hast du von diesem Sprichwort gehört?

Mathematiker sind Maschinen, um Kaffee in Theoreme zu verwandeln.

Zumindest weiß ich, warum es noch keine nach mir benannten Theoreme gibt!

Lieblingsmathematikgleichung / Fakt / Studienfach?

Es gibt viel zu viele interessante Bereiche der Mathematik, als dass ich einen Favoriten auswählen könnte! Es gibt einen Bereich, der mich besonders interessiert. Es ist die wunderbar unendliche, sich selbst replizierende Welt der Fraktale.

Ok… und was genau ist ein Fraktal?

Ein Fraktal ist ein Objekt, das auf jeder Skala mehr oder weniger gleich aussieht. Dies bedeutet, dass unabhängig davon, wie stark Sie in ein Fraktal hineinzoomen, das Detail ziemlich identisch aussieht.

Können Sie uns ein Beispiel geben?

Ich wusste, dass diese Frage kommen würde, also habe ich einige gezeichnet!

Dieser heißt Sierpinskis Dreieck…

Dieser wird die Drachenkurve genannt ...

Und diese heißt Koch-Kurve…

Ich werde darauf hinweisen, dass dies Annäherungen sind. Es ist eigentlich ziemlich schwierig, Fraktale auf Servietten zu zeichnen, und ob Sie es glauben oder nicht, ich kann nicht auf eine infinitesimale Skala zeichnen!

Alle diese Fraktale sind sogenannte selbstähnliche Fraktale, was bedeutet, dass ihre Details beim Vergrößern genau identisch sind.

Dies bedeutet, dass Sie exakte Kopien des Fraktals in sich selbst finden können.

Kannst du uns mehr erzählen?

Eine Sache, die ich an Fraktalen liebe, ist, dass sie so visuell sind. Einige fraktale Muster (wie die obigen Beispiele) eignen sich hervorragend zum Kritzeln, da sie nach einem iterativen Prozess erstellt werden können.

Im Allgemeinen können selbstähnliche Fraktale aus einem „Basisstück“ konstruiert werden, indem Kopien des Basisstücks in einem bestimmten Muster angeordnet werden, dieses Muster dann verkleinert wird, um es als neues „Basisstück“ zu verwenden, und wiederholt werden. (Der Vorgang kann auch ohne Schrumpfen durchgeführt werden, was einfacher zu zeichnen ist, aber immer mehr Platz beansprucht.)

Hier sind einige Iterationen der oben gezeichneten Kurven:

Sieht toll aus als Geschenk, Adam!Es wird langsam schwindelig…Agghh, hör jetzt auf!

Natürlich kann eine solche Konstruktion nur so viele Iterationen durchlaufen, bevor Ihnen der Raum ausgeht. Die physikalische Darstellung ist also nur eine Annäherung an das wahre Fraktal.

Wenn wir das mathematische Konzept jedoch bis ins Infinitesimale bringen, werden die Dinge ein wenig seltsam.

Seltsam? Wie genau?

Jedes Mal, wenn die Unendlichkeit ihre Zehen in einen Bereich der Mathematik eintaucht, können Sie erwarten, dass es etwas gibt, das Ihrer Intuition nicht vollständig entspricht.

Was wäre, wenn ich Ihnen sagen würde, dass Fraktale nicht unserem üblichen Begriff der Dimension entsprechen?

Bei herkömmlichen Formen können wir über die Dimension nachdenken, indem wir ein Objekt mit einer bestimmten Maßeinheit messen, dann mit einer kleineren Maßeinheit erneut messen und sehen, wie viele weitere Teile Sie erhalten.

Zum Beispiel habe ich hier eine Linie, ein Quadrat und einen Würfel mit einer Seitenlänge von 1 Einheit gezeichnet und sie dann mit einer Einheit von ⅓ der Größe erneut gemessen. Für die Linie gibt es jetzt 3 = 3¹ Teile, für das Quadrat gibt es 9 = 3² Teile und für den Würfel gibt es 27 = 3³ Teile.

Wenn wir eine Maßeinheit verwenden, die das 1 / n-fache der Größe beträgt und N Teile erhält, erfüllt die Dimension D des Objekts im Allgemeinen N = n ^ D. (Die Linie hat also n¹ Teile, das Quadrat hat n² Teile und der Würfel hat n³ Teile). Beim Umordnen erhalten wir D = ln (N) / ln (n). So weit, ist es gut.

Schauen wir uns nun die Koch-Kurve an. Man könnte denken, dass die Koch-Kurve eindimensional ist - schließlich setzt jeder Schritt der iterativen Konstruktion, die wir zuvor verwendet haben, nur gerade Linien zusammen. Aber hier tritt die Unendlichkeit ein und erschüttert unsere Intuition: Wenn wir den Prozess bis ins Infinitesimale wiederholen, gibt es nirgendwo wirklich „gerade Linien“. Denken Sie stattdessen daran, dass wir bei jedem Schritt der Konstruktion 4 Teile genommen haben, die ⅓ der Größe entsprachen, und dies bis ins Unendliche wiederholen. Wir haben also, dass die fraktale Dimension der Koch-Kurve D = ln (4) / ln (3) ≈ 1,262 ist - was keine ganze Zahl ist! Dies deutet darauf hin, dass das Koch-Fraktal irgendwie mehr als nur eine Linie ist, mit seiner Unendlichkeit, die in mehr als eine Dimension „herausgedrückt“ wird.

In ähnlicher Weise haben wir beim Aufbau des Sierpinski-Dreiecks drei Kopien von Linien verwendet, die ½ Größe hatten. Für Sierpinskis Dreieck gilt also D = ln (3) / ln (2) ≈1.585. Diese Zahl ist größer als bei der Koch-Kurve, und wir können diesen Unterschied visuell erkennen - Sierpinskis Dreieck füllt viel mehr Raum aus als die Koch-Kurve.

Es gibt noch mehr, lass mich ...

(An diesem Punkt habe ich Adam abgeschnitten. Ich versuche eine andere Frage zu stellen, aber er wird nicht aufhören zu reden ...)

Lassen Sie mich Ihnen nun eine andere Art von Fraktalkurve zeigen, die als Hilbert-Kurve bekannt ist und 1891 vom Mathematiker David Hilbert entdeckt wurde. Die ersten Schritte seiner Konstruktion sehen folgendermaßen aus:

Sie werden vielleicht bemerken, dass sich diese Kurve so zu drehen scheint, dass sie einen großen Teil des Raums ausfüllt - sogar mehr als Sierpinskis Dreieck, das offensichtliche Löcher aufweist.

Was ist die fraktale Dimension der Hilbert-Kurve?

Bei jedem Schritt verwenden wir 4 Teile, die ½ der Größe entsprechen (und eine kleine zusätzliche Linie, um die Teile zu verbinden). Wir haben also D = ln (4) / ln (2) = 2. Das heißt, wenn man das Infinitesimal betrachtet, ist die Hilbert-Kurve tatsächlich zweidimensional, obwohl sie aus geraden Linien besteht! Wenn das Fraktal ins Infinitesimale gebracht wird, ist es nicht von einem durchgezogenen Quadrat zu unterscheiden, und Kurven wie diese werden als raumfüllende Kurven bezeichnet.

Unser Freund, die Drachenkurve, ist ebenfalls eine raumfüllende Kurve, obwohl sie den Raum weniger direkt ausfüllt als das saubere Quadrat der Hilbert-Kurve. Wir können dies noch einmal sehen, indem wir die fraktale Dimension der Drachenkurve betrachten. Bei jedem Schritt verwenden wir 2 Teile, die das 1 / √2-fache der Größe haben (oder alternativ verwendet jeder zweite Schritt 4 Teile, die die halbe Größe haben), und so haben wir D = ln (2) / ln (√2) = 2.

Warum sind Fraktale Ihrer Meinung nach so wichtig?

Ich denke nicht, dass sie per se „wichtig“ sind, aber es gibt eine Reihe von natürlich vorkommenden Strukturen, die fraktalartig sind. Natürlich hat alles in der physischen Welt eine Einschränkung in seinen Details, wenn Sie zu einer atomaren Skala gelangen (dies ist etwas Lustiges, das Ihnen zeigt, was ich meine). Es handelt sich also nur um Annäherungen an echte mathematische Fraktale.

Am offensichtlichsten sind Schneeflocken mit einer fraktalartigen Kristallstruktur.

Blitzeinschläge sind ein weiteres natürliches Phänomen, das häufig fraktaler Natur ist, wenn sich der Blitz aus der Wolke ausbreitet und nach dem besten Kontaktpunkt mit dem Boden sucht. Dies ist eines der besten Slow-Mo-Videos, die ich gesehen habe und die die Schönheit von Blitzfraktalen zeigen.

Es gibt auch nahrhafte Fraktale! Romanesco Brokkoli ist ein großartiges Beispiel für ein essbares (und gesundes) Fraktal.

Adam hat den fraktalen Brokkoli links gezeichnet, daher hielten wir es für hilfreich, auch die Version von Google zu finden!

Gibt es noch etwas Interessantes hinzuzufügen?

Ja eigentlich.

Früher habe ich über eine iterative Methode zur Erzeugung selbstähnlicher Fraktale gesprochen. Sie erinnern sich vielleicht, dass wir die Drachenkurve konstruiert haben, indem wir zwei Kopien der vorherigen Iteration im rechten Winkel zueinander platziert haben, beginnend mit einer geraden Linie. Es stellt sich heraus, dass dies genau das ist, was Sie erhalten, wenn Sie ein Blatt Papier wiederholt in zwei Hälften falten (in die gleiche Richtung falten) und es dann so entfalten, dass jede Falte einen rechten Winkel aufweist!

Zu diesem Zeitpunkt haben wir so ein Durcheinander gemacht. Überall Stifte, Servietten und Papierfetzen!

So können Sie auch Origami-Fraktal-Näherungen erhalten.

Oh, und fraktale Muster sorgen auch für fantastische Desktop-Hintergründe! (Versuchen Sie eine schnelle Bildsuche nach "fraktalem Hintergrund").

Wir würden gerne andere ungewöhnliche Methoden zur Erzeugung von Fraktalen kennen. Bitte teilen Sie unten!

Möchten Sie mehr aus der Coffee + Math-Reihe lesen? Schauen Sie sich unseren letzten Beitrag an, in dem wir die Schnittstelle von Mathematik und Poesie mit Eulers Identität untersuchen.